Bachillerato

EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU
PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.
SOLUCIÓN:

4
- 2
- 1


9
[A] =
5
1
- 1

[B] =
7

1
2
- 4


12
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) +(5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

4
- 2- 1
[U] =
0
3.5
0.25

0
2.5
- 0.75
Encontrando [L]

1
0
0
[L] =
1.25
0
0

0.25
0
0
ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
fila 3 = -(factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

4
- 2
- 1
[U] =
0
3.50.25

0
0
- 0.9285714286
Encontrando [L]

1
0
0
[L] =
1.25
1
0

0.25
0.7142857143
1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
Ly = b paraencontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen lossiguientes valores para y1, y2 y y3:

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando losvalores de x1, x2 y x3:

La solución del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU.
EJEMPLO 2 DE DESCOMPOSICIÓN...