Bachillerato

´ Algebra Lineal
Grado en Ingenier´ Electr´nica Industrial y Autom´tica ıa o a Grado en Ingenier´ El´ctrica ıa e
Dpto. de Matem´tica Aplicada a

Escuela de Ingenier´ Industriales de Valladolid ıas Universidad de Valladolid Curso Actual

Cap´ ıtulo 1 Matrices, Sistemas y Determinantes.
1.1.
1.1.1.

Matrices.
Definiciones b´sicas a

u o Una matriz es una tabla rectangular de n´ meros,(es decir, una distribuci´n ordenada de n´ meros). Los n´ meros de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. El u u tama˜ o de una matriz se describe especificando el n´ mero de filas y columnas que la forman. Si A n u es una matriz de m filas y n columnas, Am×n , se usar´ aij para denotar el elemento de la fila i y la a columna j y en general, se representar´ por a
     A=

a11 a21 . . .

a12 a22 . . .

· · · a1n · · · a2n . . ··· .

     

am1 am2 · · · amn

Al conjunto de todas las matrices de tama˜ o m × n lo denotaremos por Mm×n n Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tama˜o y los elementos correspondientes n en ambas matrices son iguales. Una matriz An×n se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de lamatriz a11 , a22 , ..., ann se dice que forman la diagonal principal. Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir: aij = 0, para cualquier i,j tal que i > j. Una matriz cuadrada A se dice triangular inferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir: aij = 0, para cualquier i,jtal que i < j. Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior.

1.1.2.

Operaciones en las matrices

Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tama˜ o la suma A + B es otra matriz C del mismo n tama˜ o con cij = aij + bij , ∀i, j. n El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos los elementos cero. R Producto por escalares: Si A es una matriz y k ∈ Iun escalar, el producto kA es otra matriz C del mismo tama˜ o y tal que cij = kaij , ∀i, j. n

1

1.1 Matrices.

m at
aik bkj (obs´rvese que se trata de sumar los productos de cada elemento de la fila i de A e

Producto de matrices: Si Am×n y Bn×p el producto AB es otra matriz C de tama˜ o m × p y tal n
n

que cij =
k=1

por el elemento correspondiente de la columna j de B). Estadefinici´n requiere que el n´ mero de columnas de la primera matriz, A, sea igual que el o u n´ mero de filas de la segunda matriz, B, puesto que para el c´lculo de cij ha de haber tantos u a elementos en la fila i (n´ mero de columnas de A) como en la columna j (n´ mero de filas de B). En u u forma sin´ptica con los tama˜ os (m × n) · (n × p) = (m × p). La matriz identidad, In×n , formada o n por cerosexcepto en la diagonal principal que tiene unos, verifica que para toda Am×n se tiene que Im×m · Am×n = Am×n y Am×n · In×n = Am×n . Proposici´n 1 (Propiedades de las operaciones).o 1. A + B = B + A (conmutativa de la suma) (asociativa de la suma)

2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A(BC) = (AB)C

(asociativa del producto) (distributiva por la izquierda) (distributiva por la derecha)

4. A(B + C)= AB + AC 5. (A + B)C = AC + BC

6. k(B + C) = kB + kC; ∀k ∈ I R 7. (k + λ)C = kC + λC; ∀k, λ ∈ I R 8. k(BC) = (kB)C = B(kC); ∀k ∈ I R • AB = BA En general, NO es cierto que: • AB = AC =⇒ B = C • AB = 0 =⇒ A = 0 ´ B = 0 o 0 1 3 7 −1 −1 , B = y C = obtenemos que AB = 0 2 0 0 0 0 0 0 0 17 = BA = es decir AB = BA y AB = 0 con A = 0 y B = 0. Adem´s a 0 0 0 0 AC = 0 = AB y B = C. Ejemplo 2.- Con A =1.1.3.

Matrices elementales

Definici´n 3.- Llamamos operaci´n elemental en las filas de las matrices, a alguna de las sio o guientes: a) Cambiar la posici´n de dos filas. Fi ↔ Fj o b) Multiplicar una fila por una constante k distinta de cero. Fi → kFj c) Sumar a una fila un m´ ltiplo λ de otra fila. Fi → Fi + λFj u

Matem´ticas I a

2

1.2 Lenguaje matricial de los sistemas de...