Bachillerato

 TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).-
Sea f una función y a < b. Sí se cumplen ambas:
f es continua sobre [a , b] , y f es diferenciable sobre < a , b > , entoncesexiste " " < a , b > tal que f ` (c)
[ó tal que: f(b) - f(a) = f ` (c) - ( b - a ) , c " < a , b >].
* PRUEBA.-
Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por
Pues vemos que ges continua sobre [a , b] y diferenciable sobre el intervalo abierto < a , b > , y además que g(a) = 0 = g(b). Entonces dicho teorema nos asegura que existe " " < a , b > tal que g `(c) =0 , es decir
lo que implica que: f(b) - f(a) = f `(c).(b - a)
* PROBLEMA.- Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a:
 a = -2 , b = 2
f(a) = f(-2) = 0
f(b) = f(2) = 0
f continuaen [-2, 2]
f diferenciable en <-2 , 2>
Entonces el Teorema de Rolle
implica que existe C " <-2,2>
tal que: f '(c) = 0
Y como f ` (x) = 2x = 0 para x = 0 solamente , entonces c = 0.Además c = 0 se encuentra en el intervalo <-2,2>
 f(x) 0 x2 + 2x , x " [0,3], a = 0 , b = 3 , f(a) = a , f(b) = f(3) = 15 , f es continua en [0,3] y diferenciable en < 0,3 > , entoncesel T.V.M.
asegura que existe c " < 0,3 > tal que
Como f ` (x) = 2x + 2 = 5
entonces x = 3/2 = c " <0,3>.
 f(x) = cos x , x " [0, /2] , a = 0 , b = /2 , f(a) = 1 , f(b) = 0 , f escontinua en [0, /2] y diferenciable en < 0 , /2 >, entonces el Teorema del Valor Medio asegura la existencia de algún c " <0, /2 > tal que:
es decir, C = 0 arcsen (2/) " < 0 , /2 >
Demostrar que sen x " x , x " [0, >.
Aplicaremos el teorema del Valor Medio (T.V.M) a la función f(x) = sen x - x , para x " [0 , b] ,para cualquier b " R+ tal que:
f(0) = 0 ,,,,, f(b) = sen b -b.
Como f es continua y diferenciable en R, entonces por el T.V.M, existe c " < 0,b > tal que : .............(*)
Pero, f ` (c) = cos c -1 " 0 , pues -1 " cos x " 1 ," x " R, y en particular...