Bachillerato

Oscilaciones amortiguadas y forzadas
Á Oscilador armónico amortiguado
Solución general
¹¶
¹

Recuerde que la segunda ley de Newton (F
simple es:
m

d2x
dt

cccccccccccccc
2


k x ,

¶
m ¹a ) para la ecuación de movimiento de un oscilador armónico

o , pasando todo al mismo miembro : m

d2 x
dt

cccccccccccccc 
2

kx

0.

donde x representa el desplazamientorespecto a la posición de equilibrio, m la masa inercial y -kx la fuerza
restauradora. Cuando además actúa una fuerza amortiguadora (viscosa) proporcional a la velocidad
dx
Fv  cv  c cccccc , la ecuación de movimiento queda:
dt
dx
d2x
kx 0
dt
dt
la cual, dividiendo por m, suele escribirse como :
d2x
dx
cccccccccccccc  2 E cccccccccc c  Z2 x 0
0
d t2
dt
m

cccccccccccccc  ccccccccccc c 
2

donde 2E=c/m es el factor de amortiguamiento y
nombre a esta ecuación:
In[1]:=

Out[2]=

Z0

r

s

k m es la frecuencia de vibración libre. Demos un

Clearx, E, Z0
ecamort x ''t  2 E x 't  Z02 xt

Z02 x#t'  2 E x… #t'  x…… #t'

La solución general de tal ecuación puede obtenerse como:
In[3]:=
Out[3]=

DSolveecamort

x#t' ‘ Æt0, xt, t

E E2 Z02 0 C#1'  Æt ,E E2 Z02 0 C#2'

,

r


r


Dicha solución tiene comportamientos diferentes dependiendo de los valores de E y de
por caso:
Oscilador subamortiguado

E  Z0

Por ejemplo, tomemos E=0.1,
gráfica vienen dadas por:

Z0

Z0 . Estudiemoslos caso

0.5 y, como condición inicial: x(0)=1, x'(0)=0. Lasolución x(t) y su

120

Oscilaciones amortiguadas y forzadas.nb

In[4]:=

Out[5]=

Clearx
subamort DSolve
ecamort 0 s. E ! 0.1, Z0 ! 0.5, x#0'
Plot#x#t' s. subamort, t, 0, 2 +2 Pi s 0.5/,
AxesLabel ! "t", "x#t'"'

1, x '#0'

0, x, t'

x ‘ +Æ
0.1 #1 +Cos#0.489898 #1'  0.204124 Sin#0.489898 #1'/ &/
x#t'
1
0.75
0.5
0.25
5

-0.25
-0.5
Out[6]=

10 15 20 25t

h Graphics h

Vemos que se trata de un movimiento vibratorio donde la amplitud disminuye paulatinamente con el tiempo
hasta hacerse cero (en el límite t->ˆ). Veamos una representación gráfica del movimiento en el plano de fases:
In[7]:=

ParametricPlot#Evaluate#x#t', x '#t' s. subamort',
t, 0, 2 +2 Pi s 0.5/, AxesLabel ! "x", "v#x'"'
v#x'
0.2
0.1
-0.5-0.25
-0.1

0.250.5 0.75

1

x

-0.2
-0.3
Out[7]=

h Graphics h

Las órbitas son abiertas, lo cual indica que el movimiento no es periódico. También vemos que la trayectoria
tiende al punto (x(ˆ)=0, v(ˆ)=0).
Amortiguamiento crítico E
Por ejemplo, tomemos E=
vienen dadas por:

Z0

Z0
0.1 y, como condición inicial: x(0)=1, x'(0)=0. La solución x(t) y su gráfica

Oscilaciones amortiguadas yforzadas.nb

In[8]:=

Out[9]=

121

Clear#x'
amortcrit DSolve#
ecamort 0 s. E ! 0.1, Z0 ! 0.1, x#0'
Plot#x#t' s. amortcrit, t, 0, +2 Pi s 0.1/,
AxesLabel ! "t", "x#t'"'

1, x '#0'

0, x, t'

x ‘ +Æ
0.1 #1 +1.  0.1 #1/ &/
x#t'
1
0.8
0.6
0.4
0.2
10 20 30 40 50 60

Out[10]=

t

h Graphics h

Aquí el sistema no realiza ninguna oscilación y la posición vaa cero paulatinamente con el tiempo ( x(ˆ)=0).
En el plano de fases:
In[11]:=

ParametricPlot#Evaluate#x#t', x '#t' s. amortcrit',
t, 0, +2 Pi s 0.1/, AxesLabel ! "x", "v#x'"'
v#x'
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
-0.035

Out[11]=

0.2 0.4 0.6 0.8

1

x

h Graphics h

Vemos igualmente que la trayectoria tiende al punto (x(ˆ)=0, v(ˆ)=0) partiendo de (x(0)=1,v(0)=0)
Oscilador sobreamortiguado

E ! Z0

Por ejemplo, tomemos E=0.3, Z0 0.1 y, como condición inicial: x(0)=1, x'(0)=0. La solución x(t), y su
gráfica superpuesta a la de amortiguamiento crítico vienen dadas por:

122

In[12]:=

Out[13]=

Oscilaciones amortiguadas y forzadas.nb

Clear#x'
sobreamort DSolve#
ecamort 0 s. E ! 0.3, Z0 ! 0.1, x#0' 1, x '#0' 0, x, t'...