Bachillerato

ANGULO CENTRAL

Es un ángulo cuyos lados son radios y su vértice es el centro de la circunferencia.

Es la referencia fundamental para los otros tipos de ángulos en el círculo (inscrito, interior, exterior) pues la medida del ángulo central es proporcional (con constante 1/r  ) a su arco interceptado. Ver definición de radián.

Nota: Cuando se dice que la medida del ángulo central es la desu arco interceptado se está pensando en un círculo de radio 1. Sin embargo, esa imprecisión no hace ningún daño al aprendiz, dado que nadie nunca se pone a medir el arco para saber la medida del ángulo central: es más bien un punto de referencia para establecer igualdades entre ángulos en la geometría elemental del círculo.
Ángulos en la circunferencia |
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Dibujando líneas que estén dentrode una circunferencia o que tengan relación con ella podemos definir distintos tipos de ángulos, como se aprecia en la figura a la derecha:
Donde:
δ (delta) = ángulo inscrito (71,47º), con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.
α (alfa) = ángulo semiinscrito (41,68º) , cuyo vértice está en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vérticey el otro que es una cuerda.
γ (gama) = ángulo central o del centro (45,42º), con el vértice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios.
β (beta) = ángulo interior (47,3º), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vértice situado en el interior de la misma.
A continuación veremos algunas características de estos ángulos y analizaremos ciertasrelaciones entre ellos.
Ángulo inscrito en la circunferencia
El ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma (si las cuerdas se prolongan, diremos que son dos rectas secantes).
En la figura a la izquierda, vemos varios ángulos inscritos que abarcan o subtienden el arco FD.
Todos miden lo mismo (71,47º),por ello, podemos afirmar que “los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales”.
En nuestro ejemplo, son iguales los ángulos de vértices B, A, G, H.
También debemos recordar que un ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca.
El ángulo se expresa en grados. El valor de un arco se expresa en grados y
coincide con el valor del ángulo del centro correspondiente.
Cuando el arcocomprendido entre los radios tiene la longitud de éstos, el valor del ángulo central es un radián, una circunferencia tiene pues 2π radianes.
 Pregunta 10_2005
 
| Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales:uno cóncavo (α = 130,68º) yuno convexo (β = 229,32º) ,o los dos iguales, que sumarán 360º. |

Losángulos inscritos (γ = 65,34º y δ = 114,66 en la figura de la derecha) que subtienden los mismos arcos que subtienden los ángulos del centro mencionados, serán suplementarios, pues sumarán siempre 180º. | |

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Ángulo semiinscrito en la circunferencia
El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente.

Un ángulo semiiscrito (en la figura es δ = 67,5º) vale la mitad que el ángulo del centro (α = 135º) que abarca el arco AB.
Nótese que en la figura están dados  los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saberlos valores, calculamos el valor del ángulo central así:
,
por pertenecer al triángulo isósceles ABC (recordar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º, y que el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales).
Entonces, calculamos el valor del ángulo δ semiinscrito:

 
El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito (ζ (zeta) = 112,5º) abarca el otro...