bachirer

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

Grado 11
Taller # 5
Nivel I

TALLER # 5. VOLUMEN
M . C . ESCHER
Una de las obras más conocidas del artista gráfico holandés M. C. Escher es
la litografía Manos que dibujan (1948). Representan un par de manos, cada
una de las cuales dibuja a la otra sobre una misma hoja de papel que a su vez
está sujeta con tachuelasal tablero de dibujo. La litografía contiene varios
elementos paradójicos: el primero que salta a la vista es el círculo vicioso
autorreferente de la mano que dibuja a al otra y a la vez es dibujada por ésta.
Pero también representa una antigua contradicción artística, cual es el
conflicto entre la bidimensionalidad del dibujo figurativo y la tridimensionalidad
del mundo representado. En estesentido, se puede interpretar a Manos que dibujan como un
metadibujo que reformula dicho conflicto y a la vez al antiguo aforismo de que “el artista se
retrata a si mismo” .
En manos que dibujan y otras obras. Escher dice claramente que el dibujo es una forma de
ilusión. Sin embargo. Escher ejecuta la impostura con una lógica visual tal, que quien la
contempla es incapaz de sustraerse a susefectos contradictorios muchos grabados de
Escher parecen paradojas lógicas de construcción formal. Aparentan estar cimentadas en
premisas (imágenes) verdaderas basadas en un razonamiento (composición) correcto, pero
conducen a conclusiones contradictorias ( mundos imposibles). Escher desarrolló su interés por
las paradojas en muchas direcciones una de las más importantes se basa en el ejemplode
dibujos periódicos llamados “taraceas”
La taraceas plana consiste en la división de una superficie bidimensional mediante un motivo
periódico en forma de escaque o mosaico.
Escher intentó un dibujo basado en la división espacial periódica del plano en 1926. tras una
breve visita a la Alambra. La ciudadela morisca de Granada. En España . Pero fue sólo en
1936, tras un prolongado viaje aGranada, que se abocó a asimilar las leyes y técnicas del
taraceado . Durante ese viaje, con ayuda de su esposa, realizó varias copias de los taraceados
morisco que cubrían los muros de la Alambra. Pero estos dibujos eran abstractos, porque el
Islam prohíbe el arte figurativo en los edificios públicos y religiosos: con todo. Escher quedó
fascinado por esos diseños y por la posibilidad derealizar taraceados figurativos, algo que
ningún artista. Fuese moro o de otra cultura, había intentado anteriormente .
Escher que no había estudiado matemática, procedió a “inventar” las normas básicas del
taraceado de una superficie plana y que incluían, según resultó . Los principios generales de la
cristalografía, disciplina que estudia la estructura y formación de cristales.

EL PROBLEMA DE LAMOSCA Y LA ARAÑA
La mayor parte de nosotros hemos aprendido que la recta es la distancia más corta entre dos
puntos. Aplicada a la tierra en que vivimos, esta afirmación es a la vez inútil y falsa. Los
matemáticos del siglo XIX Riemann y Lobatchevsky, sabían que, en caso de ser cierta, esa
afirmación podía , a lo sumo, aplicarse únicamente a superficies especiales. No puede
utilizarse en unasuperficie esférica, en la cual la distancia más corta entre dos puntos es un
arco de círculo máximo. Dado que la forma de la tierra es, aproximadamente la de una esfera,
la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre nunca es una
línea recta, sino la porción de arco de círculo máximo.
Sin embargo, para fines prácticos, incluso en la superficie de la tierra,la distancia más corta
entre dos puntos se representa por una línea recta. Quiero decir que, para medir distancias

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ordinarias con cintas métricas, metálicas o de madera, el principio es sustancialmente correcto.
Pero en cuanto las distancias excedan a uno centenares de metros, no puede uno permitirse el
lujo de menospreciar la curvatura de la tierra la determinación de una geodésica...