bala de markowitz

ANÁLISIS DE CARTERAS. CÁLCULO DE LA 
FRONTERA EFICIENTE MEDIANTE 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. EL CASO 
DE UNA CARTERA COMPUESTA POR TRES 
VALORES 
Por Pablo García Estévez 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
Pablo García Estévez. Doctor en Económicas y Empresariales por la 
Universidad Complutense de Madrid. Acreditado Doctor por la ACAP. Miembro del IEEE. Es profesor de la Universidad Complutense de Madrid, 
del CUNEF, del Colegio Universitario Cardenal Cisneros, del Instituto de 
Empresa, del IEB y de ICADE.  
 

Octubre 2007 SELECCIÓN DE CARTERAS CON LAGRANGE.EL CASO DE TRES TÍTULOS 

 

EL CASO DE TRES TÍTULOS 
Supongamos un mercado con tres valores A, B y C que presentan los siguientes datos: 
Rendimientos Esperados: EA = 10%  EB = 15% y EC = 18% Matriz de Varianzas Covarianzas. 

⎛ 0,04 0,01 0,02 ⎞
⎟
⎜
⎜ 0,01 0,09 0,01 ⎟  
⎜ 0,02 0,01 0,16 ⎟
⎠
⎝Con estos datos se puede calcular la frontera eficiente. Planteamos las ecuaciones del modelo de Markowitz 
Min σ2 = ΣΣXiXjσij 
Sujeto a: 
E=ΣXiEi = Constante 
ΣXi = 1 
Con los datos de nuestro mercado 
Min σ2 = 0,04X2A + 0,09X2B + 0,16X2C + 0,02XAXB + 0,04XAXC + 0,02XBXC  
Sujeto a E=0,1XA + 0,15XB + 0,18XC  
XA + XB + XC = 1 
 (A partir de ahora denominaremos a los pesos A, B y C en vez de XA, XB y XC) 
Planteamos a ecuación Langrangiana para minimizar el programa matemático 
 L = 0,04A2 + 0,09B2 + 0,16C2 + 0,02AB + 0,04AC + 0,02 BC + 2λ1(E − 0,1A − 0,15B − 0,18C) + 2λ2(1 − A − B − C) Realizamos las derivadas parciales de la Langrangiana entre cada uno de los componentes e igualamos a cero 
1

δL/δA = 0,08A + 0,02B + 0,04C − 0,2λ1 − 2λ2 = 0 

2

δL/δB = 0,02A + 0,18B + 0,02C − 0,3λ1 − 2λ2 = 0 

3

δL/δC = 0,04A + 0,02B + 0,32C −0,36λ1 − 2λ2 = 0 

4δL/δλ1 = 2E – 0,2A − 0,3B − 0,36C = 0 

5

δL/δλ2 = 1 − A − B − C = 0 

 
 
2 

SELECCIÓN DE CARTERAS CON LAGRANGE.EL CASO DE TRES TÍTULOS 

Octubre  2007 

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