Balance de calor con nodos

Se debe encontrar la distribución de temperatura 1,5 segundos después de un cambio en la potencia de operación en un elemento combustible de un reactor nuclear:

Constantes
h(W/m2K)
1100k(W/mK)
30
T inf (K)
250
q gen 1 (W/m3)
10000000
q gen 2 (W/m3)
20000000
Δx (m)
0,001
L (m)
0,01
α (m2/s)
0,000005


Aplicando la conservación de la energía en cada nodo:
Nodo 1Siendo este sistema cerrado, la energía total del sistema es la energía interna.

Mediante una derivación parcial de respecto al tiempo, se deduce que la derivada de la energía interna respecto altiempo es (se sabe que para los sólidos y los líquidos ). Reemplazando la masa por el producto de la densidad y el volumen ocupado el resultado es:

El área de transferencia de calor por convecciónes igual al área de generación y al de la energía del sistema por lo tanto si se factoriza este término se puede eliminar de la ecuación


Sabiendo que el número de Fourier esReemplazando el número de Fourier la ecuación para la temperatura en el instante t+1 queda expresada de la forma:


Nodo 0





Aplicando la conservación de la energía en el nodo 0 se evidencia quesolo existe la convección transferida por el nodo 1 debido a que el otro lado está aislado; existe generación y acumulación al igual que en los diferentes nodos





Se puede notar que la ecuaciónresultante para este nodo es la misma que en un nodo interno si se igualan las temperaturas de los nodos adyacentes (. Si solo se reemplaza en la ecuación teniendo esta definición presente se obtieneel coeficiente “2”que acompaña a .

Para los nodos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 la ecuación que se obtiene haciendo el balance de energía es la misma que en el nodo 1 asumiendo el cambio de lastemperaturas en los nodos fronterizos.
Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4

Nodo 5

Nodo 6

Nodo 7

Nodo 8

Nodo 9

Nodo 10

A diferencia de los nodos internos en este nodo existe transferencia por...