Balance de materia

ANALISIS DIMENSIONAL
DIMENSION. Descripción de una variable, por ejemplo: masa, viscosidad, densidad, tiempo, longitud, etc.
Dimensiones fundamentales | Dimensiones derivadas |
Masa M | Volumen L3 |
Longitud L | Densidad ML3 |
Tiempo θ | Volumen especifico L3M |
Temperatura T | Fuerza = Ma = MLθ2 |
| Energía = ½mv2= ML2θ2Flujo másico = Mθ |
|

Los sistemas de dimensionesmás importantes son:
1.- Sistema absoluto: M, L, T, θ
2.- Sistema gravitacional: F, L, T, θ
Análisis dimensional. Es un método matemático de correlacionar cierto número de variables en una ecuación sin especificar unidades. Para el cálculo de ecuaciones se sigue el método de los 7 pasos:
1. Reunir todas las variables
2. Establecer una ecuación exponencial
3. Sustituir las dimensiones4. Sumar los exponentes de las variables
5. Reducir el número de exponentes
6. Sustituir los nuevos valores de los exponentes
7. Reunir las variables con exponentes idénticos
Ejemplo. Encontrar la ecuación de continuidad relacionando las siguientes variables:
W= flujo másico v= velocidad del fluido a= área del conducto
v= volumen especifico
1.- w=Mθ v=Lθ a=L2 v= L3M2.- N= (W)a (v)b (a)c (v)d
3.- N= (Mθ)a (Lθ)b (L2)c (L3M)
4.- M= a-d L= b+2c+3d θ=-a-b
5.- de ec.1 d=a de ec. 3 b=-a de ec. 2 sustituyendo 3 y 1:
-a+2c+3c ∴ c=-a
6.- N= (w)a (v)-a (a)-a ( v)a
7.- N= (w v v a)a
El calculo de N y a es experimental y son igual a la unidad.
1= (w v v a)a w=( v v a)a ec. de continuidad.
*Se comprueba que la ecuación es la únicaverdadera porque hay consistencia dimensional.
Ejemplo 2.
Supóngase que se desconoce la forma de la ecuación de la energía cinetica y se desea conocer la relación de las variables E, M, V, T.
E= energia v= velocidad M= masa T = temperatura
1.- E=ML2θ2 v=Lθ M= m T= t
2.- N= (E)a (v)b (m)c (t)d
3.- N= (ML2θ2)a (Lθ)b (m)c (t)d
4.- M= a+b L= c+2a θ=-2a-c T= d=0: por lo tantose comprueba que la temperature no tiene que ver.
b,c= f(a)
5.- de ec.1 b=-a de ec. 2 c=-2a

7.- N= (E v2 m)a
Experimentalmente N= 1/2 y a=1.
1/2= (Ev2 m)a ; E= 1 2 m v2 ec. de energia.
Ejemplo. Cuando un fluido incompresible fluye en un tubo horizontal uniforme con un gasto de masa uniforme, la presión del fluido disminuye a lo largo de la tubería debido a lafriccion este se llama caída de presión ∆ P ¿Qué relación existe entre ∆P y las variables?.
1.-
Diámetro del tubo = D = L
Longitud del tubo = L = L
Densidad del fluido = p = ML3
Viscosidad del fluido = μ= ML θ
Velocidad del fluido = v = Lθ
Caída de presión = ∆P = ML θ2
2.- N= (D)a (L)b (p)c (μ)d (v)e (∆P)f
3.- N= (L)a (L)b (ML3)c (ML θ)d (Lθ)e (ML θ2)f
4.- M= a+d+e L= -a+b+c-3d-e+fθ=-2ª-e-f
*Se aplica el teorema π: no. Grupos adimensionales – no. Dimensiones
6-3=3… números de variables.
b, d, f = f(a, c, e)
5.- de ec.1 d=-a-e de ec. 2 f=-2ª-e de ec. 3 sustituyendo 2 y 1:
b= a-c+3d+e-f; b= d-e-3a-3e+e+2a+e; b= d-e-3ª-3e+e+2ª+e; ∴ b= -e-c
6.- N= ((∆P)a (D)-c-e (L)-a ( L)-d-e (M)e ( v)-2a-e
7.- N= (∆P p v2)a (L D)c (μ D p v)e 3 grupos adimensionales.Experimentalmente: a = -1, e y c = 1
El calculo de N y a es experimental y son igual a la unidad.
1= (∆P p v2)-1 (L D) (μ D p v) ; ∆P p v2 = (L D) (μ D p v)e ∴ ∆P = f (L p v2D)
*Se comprueba que la ecuación es la única verdadera porque hay consistencia dimensional.
Ejemplo. Suponiendo que la fuerza de arrastre ejercida sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida es función de ladensidad, la viscosidad y la velocidad del fluido, y de una longitud característica del cuerpo. Desarrollar la ec. general.
1.-
Fuerza de arrastre = F = M Lθ2
Densidad = p = ML3
Viscosidad del fluido = μ= ML θ
Velocidad = v = Lθ
Longitud del tubo = L = L
2.- N= (F)a (p)b (μ)c (v)d (L)e
3.- N= (M Lθ2)a (ML3)b (ML θ)c (Lθ)d (L)e
4.- M= a+b+c L= a-3b-c+d+e θ=-2a-c-d
Teorema π.
*Se...