balance

El Teorema Pi y la modelaci´n
o
Luis Quintanar Medina
Instituto Superior de Matem´tica (INSUMA)
a
Aguascalientes, Ags.

Magnitudes, unidades y dimensiones
Para describir los fen´menos que nos rodean es necesario determinar
o
primero las magnitudes que pueden ser utiles, aqu´llas que tienen una in´
e
fluencia primordial en su desarrollo; despu´s nos interesa conocer relaciones
e
entreellas o leyes.
Tales relaciones pueden obtenerse directamente de forma experimental o
partiendo de alguna teor´ conocida; otra forma consiste en establecer una
ıa
relaci´n tentativa (que despu´s habr´ de comprobarse o desecharse con ayuda
o
e
a
del experimento) usando el llamado Teorema Pi de Buckingham, que es el
caso que nos interesa; este t´pico pertenece al an´lisis dimensional, conel
o
a
cual se logra completar un an´lisis matem´tico de los problemas que surgen
a
a
en la realidad y reducir costos de experimentaci´n; esta t´cnica es muy util
o
e
´
en problemas que surgen en mec´nica, en particular la de fluidos.
a
Las magnitudes como la velocidad, densidad, etc. se expresan en ciertas
kg
unidades, como metros por segundo m , kilogramo por metro c´bico m3 , etc.u
s
Por otra parte, en mec´nica tenemos tres dimensiones importantes: lona
gitud (L), masa (M ) y tiempo (T ), que se expresan en unidades como metro,
kilogramo y segundo, respectivamente; una magnitud f´
ısica como la velociL
m
dad se puede expresar en metros por segundo ( s ) y en dimensiones como T
o L1 T −1 .
Representaremos las dimensiones de una magnitud con par´ntesis cuadrae
dos[ ], por ejemplo, si usamos la letra v para referirnos a la magnitud velocidad, [v]=L1 T −1 ; en general, si tenemos n magnitudes qi , se pueden escribir
a
a
ami
sus dimensiones como [qi ]=D1 1i D2 2i . . . , Dm , i = 1, 2, . . . , n., en donde los
29

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Revista del Depto. Mat. y F´ UAA
ıs.

Dj , j = 1, 2, . . . , m representan alguna dimensi´n, como L, M o T ; en esta
o
1 −1
0notaci´n [v] = L T M .
o
Si [qi ] = 1 se dice que qi es adimensional; esto supone que los aij = 0 ∀i, j.

Independencia de las unidades
Una ley ser´ una relaci´n entre las magnitudes que describen un fen´meno;
a
o
o
por ejemplo, la ley entre las magnitudes velocidad (v), aceleraci´n (para el
o
caso de aceleraci´n, a, constante) y tiempo (t) del movimiento rectil´
o
ıneo de
un objetoconsiderado como un punto es
v = v0 + at,
en donde v0 representa la velocidad inicial.
La expresi´n anterior se puede escribir como
o
v − v0 − at = 0
o, en forma m´s general, como
a
f (v, v0, a, t) = 0.
Consideremos lo siguiente: si sabemos que se cumple la ley v = v0 + at
m
para cuando la velocidad se est´ expresando en m , la aceleraci´n en s2 y
a
o
s
el tiempo en segundos, ¿secumplir´ la misma ley entre estas magnitudes
a
si la velocidad, la aceleraci´n y el tiempo se expresaran en otras unidades,
o
cm cm
digamos, respectivamente, s , s2 , s?
Si es as´ se dice que la ley es libre de unidades (unit free):
ı,
La ley f´
ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) es libre de unidades si para todos los reales
λ1 , λ2 , . . . , λm con λi > 0, i = 1, 2, . . . , m, tenemos
bf (q 1 , q 2 , . . . , q n ) = 0 ⇔ f (q1 , q2, . . . , qn ) = 0 con q j = λ1q λb2 . . . , λbm qj .
2
m

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Revista del Depto. Mat. y F´ UAA
ıs.

El Teorema Pi
El teorema Pi dice lo siguiente:
1. Sea la ley f´
ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) = 0, libre de unidades, en donde q1 ,
q2 , . . . , qn son magnitudes dimensionales.
2. Sea L1, L2 , . . . , Lm , m < n, dimensiones b´sicas ya
[qi ] = La1i La2i . . . , Lami , i = 1, 2, . . . , n.
1
2
m
3. Si


a11
 a21

.
A=
.

.
am1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


a1n

.


.


.


.
amn

es una matriz mxn de rango r.
ENTONCES
a) Existen n − r cantidades adimensionales Π1, Π2, . . . , Πn−r independientes que pueden formarse con las...