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Ajuste de una recta

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La recta de los mínimos cuadrados
Enviado por Mario Orlando Suárez Ibujes

Ejemplo ilustrativo
Referencias bibliográficas

Se llama línea de mejor ajuste y se define como la línea que hace mínima la suma de los cuadrados de lasdesviaciones respecto a ella de todos los puntos que corresponden a la información recogida.

La recta de los mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos , , ,……… tomando en cuenta a Y como variable dependiente tiene por ecuación

Y=a0+a1X

A esta ecuación suele llamarse recta de regresión de Y sobre X, y se usa para estimar los valores de Y para valores dados de X.

Si a la recta deregresión Y=a0+a1X se le suma en ambos lados Y=a0+a1X se obtiene Y=a0N+a1X

Si a la recta de regresión Y=a0+a1X se multiplica por X a ambos lados y luego se suma XY=Xa0+a1X se obtiene XY=a0X+a1X2

Las constantes y quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones anteriormente encontradas, es decir, al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Que se llaman las ecuacionesnormales para la recta de mínimos cuadrados.

Las constantes y de las anteriores ecuaciones también se pueden calcular empleando las siguientes fórmulas:

a0=Y·X2-X·XYNX2-X2 a1=NXY-X·YNX2-X2

Otra ecuación para los mínimos cuadrados para y de la recta de regresión de Y sobre X es:

y=xyx2x

La recta de los mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos , , ,……… tomando en cuenta a X comovariable dependiente tiene por ecuación

X=b0+b1Y

A esta ecuación suele llamarse recta de regresión de X sobre Y, y se usa para estimar los valores de X para valores dados de Y. Las constantes b0 y b1 quedan fijadas al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Las constantes b0 y b1 del sistema de ecuaciones anterior se pueden calcular empleando las siguientes fórmulas:

b0=X·Y2-Y·XYNY2-Y2 b1=NXY-X·YNY2-Y2

Otra ecuación para los mínimos cuadrados para y es:

x=xyy2y

El punto de intersección entre las rectas con se simboliza y se llama centroide o centro de gravedad.

Ejemplo ilustrativo

Con los datos de la siguiente tabla sobre la altura en centímetros (X) y los pesos en kilogramos (Y) de una muestra de 8 estudiantes varones tomada al azar del segundosemestre de una universidad.

X


152


157


162


167


173


178


182


188

Y


56


61


67


72


70


72


83


92

1) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente resolviendo el sistema:

2) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente empleando las fórmulas:a0=Y·X2-X·XYNX2-X2 a1=NXY-X·YNX2-X2

3) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para Y como variable dependiente empleando la fórmula:

y=xyx2x

4) Ajustar la recta de mínimos cuadrados para X como variable dependiente resolviendo el sistema:

5) Calcular el punto centroide.

6) Calcular el coeficiente de determinación.

7) Elaborar el diagrama de dispersión. Y en el mismo diagrama graficar las dosrectas de mínimos cuadrados obtenidas en los pasos anteriores.

8) Estimar el valor de Y cuando X = 200 en el diagrama de dispersión de Y como variable dependiente.

R: 8,2

9) Estimar el valor de X cuando Y= 100 en el diagrama de dispersión X como variable dependiente.

Solución:

Para comenzar a resolver el ejercicio se llena la siguiente tabla:

1) Reemplazando valores en el sistemase tiene:

573=a0·8+a1·135998295=a0·1359+a1·231967?8a0+1359a1=5731359a0+231967a1=98295

Resolviendo el sistema por determinantes (regla de Cramer) se obtiene:

Interpretación:

- El valor a1=0,864 indica que la recta tiene una pendiente positiva aumentando a razón de 0,864

- El valor de a0=-75,191 indica el punto en donde la recta interseca al eje Y cuanto X = 0

En Excel el...