Balor absoluto

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UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

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Valor absoluto

El valor absoluto de un n´mero real x se escribe como |x| y se define como u |x| = x −x si x es positivo,si x es negativo.

As´ por ejemplo, |3/5| = 3/5 y | − 5 23| = −5 23. ı,

Ejemplo 5.1 Resuelve la ecuaci´n |2x − 4| = 3. o De la definici´n de valor absoluto caben lasposibilidades: o 2x − 4 = 3 o 2x − 4 = −3. Por tanto las soluciones son x= 7 2 1 y x= . 2

Veamos a continuaci´n un ejemplo en el que se resuelve una desigualdad en la que aparece oun valor absoluto.

Ejemplo 5.2 ¿Para qu´ valores de x se tiene que |2x − 4| < 3? e Es claro que para que |2x − 4| < 3 tiene que ser −3 < 2x − 4 < 3. resolviendo la inecuaci´n2x − 4 < 3 se tiene que x > 1/2. En consecuencia, los valores de o (−∞, 7/2) ∩ (1/2, +∞) = (1/2, 7/2). Ahora, resolviendo la inecuaci´n −3 < 2x − 4 se tiene que x < 7/2. Por otraparte, o

x para los que |2x − 4| < 3 son los puntos del intervalo

El valor absoluto satisface las siguientes propiedades:

§5. Valor absoluto

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(i) |x| ≥ 0 paratodo x ∈ R. (ii) |x| = 0 si y s´lo si x = 0. o (iii) |x y| = |x||y| para cualesquiera x, y ∈ R. (iv) |x + y| ≤ |x| + |y| para cualesquiera x, y ∈ R. La desigualdad (iv) se conocecomo desigualdad triangular. Por otra parte, observar que usando la tercera propiedad es f´cil deducir que a x |x| = y |y| para cualesquiera x, y ∈ R.

An´logamente, usando ladesigualdad triangular es f´cil ver que a a |x − y| ≤ |x| + |y| para cualesquiera x, y ∈ R.

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UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

5.1

Ejercicios propuestosEjercicio 42. Resuelve las ecuaciones: (a) |3x − 7| = 5; (b) |2x − 1||x − 2| = 5.

Ejercicio 43. Resuelve las inecuaciones: (a) |3x − 7| > 5; (b) |2x − 1||x − 2| ≤ 5.