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Fórmula de De Pril
Este resultado fue demostrado por Nelson De Pril en 1986 y proporciona una expresión exacta, aunque recursiva, de la distribución de probabilidad de un riesgo en el modeloindividual. Para establecer la fórmula de De Pril es necesario dividir el portafolio de n asegurados de acuerdo a la tasa de mortalidad y la suma asegurada. Denotaremos por nij al número de asegurados quetienen probabilidad de reclamación qj y monto de reclamación i, en donde i toma valores en [1,2,... ,I], y j en [1,2,... ,J]. De esta forma se tiene la suma de las entradas es n, es decir

De aquíobtenemos la siguente tabla.



Denotaremos por Yij el monto real reclamado por un asegurado cuya probabilidad de reclamación es qj, y posible monto reclamado i, es decirTeorema 1.1 (Fórmula de De Pril [i]) Sea nij el número de pólizas cuyos asegurados tienen tasa de mortalidad qj y suma asegurada i. Suponga que j=1,2,... ,J, e i=1,2,... ,I. Entonces las probabilidadesgx=P(S=x), están dadas por





En donde




Ejemplo 1.1 Para los datos que se muestran en la tabla, en donde se tienen 48 pólizas de seguros con las probabilidades de reclamación y losmontos de reclamaciones indicados, la correspondiente función de densidad para este riesgo es la que se muestra en la Figura 1.5. Debe tenerse cuidado en la implementación numérica de esta fórmula puesdado su carácter recursivo y que algunas de las probabilidades involucradas pueden ser muy pequeñas, pueden generarse resultados incorrectos debido al inevitable redondeo de cifras en una computadora.La fórmula que hemos denominado de DePril y que se encuentra expresada en el contexto de un portafolio de asegurados individuales puede escribirse como un resultado teórico de la teoría dela probabilidad.


Proposición 1.2 (Fórmula de DePril ) Sean v.a.i.i.d. con valores en el conjunto . Para cada entero ,defina la probabilidad , y suponga . Sea . Entonces las probabilidades se...