banda base

Transmisión Digital en Banda Base

11/18/2010

René Játiva Espinoza

M d l de
Modelo
d Receptor
R
Lineal
L
l
s(t) +

Σ

r(t)
-

z(t)

h(t)

Ruido Blanco
w(t)

z(T)

Muestreo
en t=T

r (t ) = s (t ) + w (t ) , 0 ≤ t ≤ T
z (t ) = a (t ) + n (t )
11/18/2010

T=tiempo
p de símbolo

René Játiva Espinoza

El filtro Acoplado (“Matched
Filter”)
• El filtroacoplado es un filtro lineal diseñado para
proveer la máxima relación de potencia de señal a
ruido
id a su salida,
lid para una forma
f
dde onda
d dde símbolo
í b l
transmitida determinada.
• Sea la señal s(t)
( ) infectada ppor AWGN,, n(t),
( ), la entrada
a un filtro lineal invariante en el tiempo, seguido por
un muestreador. En el instante t=T, la salida del
receptor z(T) consistede una componente de señal,
receptor,
señal ai,
y de una componente de ruido, no. La relación entre la
potencia instantánea de la señal y la potencia media
d l ruido
del
id en t=T
t T es igual
i l a (S/N)T=ai2/σ
/ n2
11/18/2010

René Játiva Espinoza

El filtro Acoplado (“Matched
Filter”)
• Puesto que nos interesa maximizar (S/N)T, se tiene
que:
a ( t ) = h ( t ) ∗ s ( t ) = F−1 { H ( f ) S ( f )} =

∞

∫

H ( f ) S ( f ) e j 2π ft df

−∞

σ = E {n } =
2
n

2
o

∞

∫ S ( f ) df

−∞

no

11/18/2010

∫

∞

∫ H(f)

−∞

2

∞

a2 (t = T )
⎛S⎞
=
⎜ ⎟ =
2
σn
⎝ N ⎠T

No
2
→ σn =
2

H ( f ) S ( f ) e j 2π fT df

−∞

No
2

∞

∫ H(f)

−∞

René Játiva Espinoza

2

df

2

df

El filtro Acoplado (“MatchedFilter”)
• L
La expresión
ió anterior
t i puede
d maximizarse
i i
acudiendo
di d
a la desigualdad de Schwarz, recordando que la
igualdad
g
se mantiene ppara g1((x)=kg
) g2*(x),
( ), donde k es
una constante arbitraria y ()* indica conjugación:
2

∞

∫ g ( f ) g ( f ) df
1

∞

≤

2

∫ g (f)
1

−∞

−∞

∞

2

∫

H ( f ) S ( f ) e j 2π ftf df

−∞

2
⎛S⎞⎜ ⎟ ≤
⎝ N ⎠T N o
11/18/2010

∞

≤

∫

2

∞

df

∫ S( f )

−∞

2

g 2 ( f ) df

−∞

H ( f ) df

−∞
∞

∫

2

2

∞

∫

S ( f ) df

−∞

2E
⎛S⎞
df → max ⎜ ⎟ =
⎝ N ⎠T N o

René Játiva Espinoza

2

El filtro Acoplado (“Matched
Filter”)
• L
La expresión
ió anterior
t i muestra
t que la
l máxima
á i relación
l ió de
d
SNR de salida dependede la energía de la señal y de la
densidad espectral del ruido, y no depende de la forma de
onda particular que se utilice.
• La función de transferencia óptima que maximiza la
(S/N)T es:

H ( f ) = H o ( f ) = kS * ( f ) e− j 2π fT

h (t ) = F

−1

{H ( f )} = F {kS ( f ) e
−1

*

⎪⎧ks (T − t ) , 0 ≤ t ≤ T
→ h (t ) = ⎨
de otra forma
⎪⎩0,
11/18/2010
René Játiva Espinoza− j 2π fT

}

El filtro Acoplado (“Matched
Filter”)
• Note que la respuesta impulsional del filtro que
produce la máxima relación de SNR a su salida es
una imagen (tipo espejo) de la señal mensaje, s(t),
retardada por la duración del tiempo de símbolo, T.
• Este
E t retardo
t d hace
h
que la
l respuesta
t del
d l filtro
filt sea causall
y por tanto físicamente realizable.11/18/2010

René Játiva Espinoza

Realización de la Correlación del
Filtro Acoplado
• El término
té i filtro
filt acoplado
l d se emplea
l con frecuencia
f
i
como sinónimo de integrador de producto o correlador,
debido a su operación,
p
, como se ve a continuación.
• A pesar que la expresión del detector óptimo se origina
de una convolución, en general difiere de ella. La
salidalid del
d l correlador
l d únicamente
ú i
iguala
i l a la
l de
d la
l
convolución en los instantes
t=T.
t

z ( t ) = r ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ r (τ ) h ( t − τ ) dτ
0

t

T

z ( t ) = ∫ r (τ ) s (T − t + τ ) dτ → z (T ) = ∫ r (τ ) s (τ ) dτ
11/18/2010

0

René Játiva Espinoza

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Detección de Señales Binarias en
Ruido Blanco
• Una vez que las señales digitales se...