Bandas prohibidas y permitidas

MODELO DE BANDAS PERMITIDAS Y PROHIBIDAS

1- Modelo del electrón libre

Consideremos una red lineal en la cual los electrones se pueden mover libremente en forma independiente unos de otros. Suponiendo nula la energía potencial:
a) Demostrar que la energía de un electrón libre es proporcional al cuadrado del número de onda k. El número de onda k puede relacionarse con el momentum p dela partícula por:

b) Graficar E = f(k). ¿Existe alguna restricción a la energía que puede tener la partícula?
c) ¿Qué significa un valor negativo de k? ¿Y un valor positivo?

2- Modelo del electrón en una red periódica: modelo de Kronig-Penney

El modelo del electrón libre no tiene en cuenta los efectos debidos a interacciones de los electrones con la red cristalina.Recordemos que cuando un electrón pasa cerca de un átomo es acelerado, y cuando se aleja es desacelerado hasta que entra dentro del campo de acción del próximo átomo, estableciéndose niveles de energía potencial que delimitan el movimiento del electrón a través de la red. Desde el punto de vista de la mecánica cuántica un electrón en un cristal se encuentra en un potencial periódico del tipo mostrado en laFigura 1a).
Figura 1a)
Potencial real
Figura 1b)
Modelo de Kronig-Penney


Para estudiar el comportamiento del electrón en una red periódica unidimensional se utiliza un modelo de potencial periódico formado por un arreglo de pozos y barreras rectangulares de potencial que tienen la periodicidad de la red, como se muestra en la Figura 1b).Este es el modelo de Kronig-Penney.
La Figura 2 muestra el potencial periódico unidimensional utilizado para estudiar el comportamiento del electrón en este modelo.
Vo
-b 0 a a+b
E
II
I
L = a + b
x
V(x)
Figura 2

La solución del sistema requiere resolver la ecuación de Schrdinger:

sujeta a las condiciones en las regiones I (V(x) = 0) y II (V(x) =Vo), resultando:
Región I:

Región II:

A, B, C y D son coeficientes constantes. y están dados por:
Como la red cristalina es periódica se introduce el factor de periodicidad por medio del teorema de Bloch, por lo cual:
donde la periodicidad de la red ,L, requiere que:

u(x) = u(x + L) = u(x + nL), n es entero.

Se obtienen funcionesperiódicas en las regiones I y II:

Los coeficientes A, B, C y D se obtienen de las condiciones de continuidad para la función de onda y su primera derivada, las que deben ser continuas donde ocurre un cambio abrupto de potencial. Es decir:
y además:
Aplicando estas condiciones resulta un sistema de cuatro ecuaciones cuya resolución matemática se deja como ejercicio para el alumno. La solución delsistema se puede expresar como:

El lado derecho de la ecuación se puede convertir en una función de la energía f(E):

Esta función queda limitada entre los valores +1 y -1 por la condición impuesta por el segundo miembro de la ecuación, se debe cumplir f(E) = cos kL. La Figura 3 muestra una representación esquemática de dicha relación, para valores positivos de k.
E
+1
-1
0
k = 0
k = /Lk = 2/L
k = 3/L
k = /L
E1
E2
E3
E4
E5
E6
k = 2/L
k = 3/L
E7
k = 4/L
E8
Banda permitida
Banda prohibida
f(E)

Figura 3

Como puede verse f(E) permanece dentro del rango [-1, 1] sólo para ciertos valores de energías. Estos valores de "energías permitidas" forman las denominadas "bandas de energía permitidas". Los valores restringidos de energía forman las denominadas "bandasde energía prohibidas" o "gap" de energía. El agrupamiento de los valores de energía permitidos en bandas es una de las características más importantes del comportamiento de los electrones en las redes periódicas.
Utilizando la curva obtenida anteriormente se puede graficar la energía E como una función de k, como se muestra en forma esquemática en la Figura 4, donde se la compara con la...