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Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.(n ¹ m).
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a unconjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que
.
Se quiere
obteneruna formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el productointerno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener
suponga que la integración y la suma se puede intercambiar paradar
.
Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en
Teorema fundamental de una función por una serie de funcionesortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que
donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces
Una prueba rigurosadel teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que lasuma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizarel intercambio de Fourier del seno y del coseno, también se analizan en que sentido es igual a f(x). Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.