Barrera de potencial- WKB

J. Jairo Castañeda – Universidad Tecnológica de Pereira
BARRERAS DE POTENCIAL
Tenemos una barrera de potencial:

Barrera de potencial para un 𝑉(𝑥) de cualquier forma

Tenemos una barrera de potencialpara un potencial 𝑉(𝑥) de cualquier tipo.
Según el método de aproximación de WKB, podemos tener soluciones diferentes en función de 𝐸 y
𝑉(𝑥), de la forma:
Si 𝐸 > 𝑉(𝑥):
𝜓(𝑥) =

𝜓(𝑥) =

𝐴
√𝑘 (𝑥)

𝐴𝑒𝑥
0

𝑖 ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥

√𝑘(𝑥)

+

𝐵𝑒

𝑥
0

−𝑖 ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥

√𝑘 (𝑥)

𝑥

cos (∫ 𝑘 (𝑥) 𝑑𝑥) +
𝑥0

𝑥

𝐵
√𝑘 (𝑥)

sin (∫ 𝑘 (𝑥) 𝑑𝑥)
𝑥0

Si 𝐸 < 𝑉(𝑥)
𝜓(𝑥) =

Con 𝑘 (𝑥) = √

2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥))
ℏ2

y 𝑝(𝑥) = √

𝐴𝑒

𝑥
0

∫𝑥 𝑝(𝑥)𝑑𝑥√𝑝(𝑥)

2𝑚(𝑉(𝑥)−𝐸)
ℏ2

+

𝐵𝑒

𝑥
0

− ∫𝑥 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

√𝑝(𝑥)

.

Supongamos que la propagación de la partícula se da de la derecha a izquierda, si es así, en la región
𝐼𝐼𝐼 vemos que es clara la forma de la solución, esdel primer tipo (Oscilatoria).
𝑥

𝜓𝐼𝐼𝐼 (𝑥) =

𝐴𝑒 𝑖 ∫𝑏 𝑘(𝑥)𝑑𝑥
√𝑘(𝑥)

𝑥

+

𝐵𝑒 −𝑖 ∫𝑏 𝑘(𝑥)𝑑𝑥
√𝑘 (𝑥)

Pero debido a que en la región tres no existe probabilidad que la partícula que viene de derecha aizquierda después del punto de retorno, se regrese el coeficiente B es cero.
𝜋

𝑥

𝐴𝑒 𝑖 ∫𝑏 𝑘(𝑥)𝑑𝑥− 4

𝜓𝐼𝐼𝐼 (𝑥) =

√𝑘 (𝑥)

𝑥

𝑥
𝜋
𝐴
𝜋
(
)
cos (∫ 𝑘 𝑥 𝑑𝑥 − ) +
𝑖 sin (∫ 𝑘 (𝑥) 𝑑𝑥 − )
4
4
√𝑘 (𝑥)
𝑏
√𝑘 (𝑥)
𝑏𝐴

𝜓𝐼𝐼𝐼 (𝑥) =

Ahora para la región 𝐼𝐼 dónde 𝐸 < 𝑉(𝑥), de las fórmulas de conexión para 𝑥 a la izquierda del punto
de retorno, la forma general de estás formulas es:
1
√𝑝(𝑥)
−

𝑒

𝑥

− ∫𝑥 0 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

1𝑥0

√𝑝(𝑥)

𝑒 ∫𝑥

𝜋
cos (∫ 𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 − )
4
√𝑘 (𝑥)
𝑥0

↔

𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝑥

2

↔

𝑥
𝜋
sin (∫ 𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 − )
4
√𝑘(𝑥)
𝑥0

1

Entonces para región 𝐼𝐼 tenemos, pero antes por conveniencia, para la función de onda de laregión
tres vamos a aplicarle un cambió que no cambia para nada el procedimiento:
𝜓𝐼𝐼𝐼 (𝑥) =

𝑥
𝑥
𝐴
2
𝜋
1
𝜋
(
cos (∫ 𝑘(𝑥) 𝑑𝑥 − )) + 𝐴𝑖 (
sin (∫ 𝑘(𝑥) 𝑑𝑥 − ))
2 √𝑘 (𝑥)
4
4
𝑏
√𝑘 (𝑥)
𝑏

𝐴

𝜓𝐼𝐼 (𝑥) =
𝜓𝐼𝐼 (𝑥) =𝐴
2√𝑝(𝑥)

𝑒

2√𝑝(𝑥)

𝑏

𝑒 − ∫𝑥

𝑏
− ∫𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝑒

𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝑥
∫𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

−

𝐴

𝑏

𝑖𝑒 ∫𝑥 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

√𝑝(𝑥)
𝑏
𝑥
𝐴
−
𝑖𝑒 ∫𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 − ∫𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
√𝑝(𝑥)

Y de nuevo para encontrar la función...