Barreras de dividendos

A. ALEGRE/M. MERCÈ/M. MÁRMOL

PROBABILIDAD DE RUINA Y ESTRATEGIAS DE BARRERA BAJO...

PROBABILIDAD DE RUINA Y ESTRATEGIAS DE BARRERA
BAJO UN PROCESO DE POISSON COMPUESTO*
Antonio Alegre Escolano
M. Mercè Claramunt Bielsa
Maite Mármol Jiménez**

RESUMEN:
En este trabajo introducimos diferentes tipos de barreras de dividendos en el
modelo clásico de la teoría de la ruina. Estudiamos lainfluencia de las estrategias de
barrera sobre la probabilidad de ruina. Utilizando un método basado en las
ecuaciones de renovación [Grandell (1.991)], alternativo al argumento diferencial
[Gerber (1.975)], se obtienen las ecuaciones diferenciales parciales de la probabilidad de no ruina. Finalmente, mediante simulación, calculamos y comparamos las
probabilidades de supervivencia con barrerasde dividendos lineal y parabólica.
PALABRAS CLAVE: Teoría del riesgo, Barreras de dividendos, Procesos de renovación, Simulación.

ABSTRACT
In this paper we introduce different kinds of dividend policies in the classical
surplus process in an insurance company. We study the influence of barrier strategies
on the solvency and ruin probability. A method based on renewal equations [Grandell(1.991)], alternative to differential argument [Gerber (1.975)], is used to get the partial
differential equations to solve survival probabilities. Finally we calculate and compare
the survival probabilities using the linear and the parabolic dividend barrier, with help
of simulation.
KEYWORDS: Risk Theory, dividend barriers, renewal process.

1. INTRODUCCIÓN
En el modelo clásico de lateoría del riesgo se calcula la probabilidad de ruina de una
cartera de riesgos que en particular podría ser la correspondiente a seguros no vida de un
cierto ramo. El estudio de la solvencia en el modelo clásico se lleva a cabo aplicando dos
métodos: el método diferencial y el método alternativo o de renovación.
En este trabajo estudiamos el modelo clásico introduciendo políticas de reparto dedividendos. Una política de reparto de dividendos implica una regla de decisión sobre la parte
de beneficios que se integrarían en las reservas, repartiéndose el resto en forma de dividendos.
(*) Original recibido en marzo de 2000 y revisado en febrero de 2001.
(**) Profesores del Dpto. de Matemática Económica, Financiera y Actuarial de la Universidad de Barcelona.

CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº41, 2001, pp. 75-92

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A. ALEGRE/M. MERCÈ/M. MÁRMOL

La forma de introducir en el modelo matemático las estrategias de reparto es mediante las
barreras de dividendos, b(t), que producirán cambios en el proceso de acumulación de reservas. Así, cuando las reservas alcanzan el nivel de la barrera se mantienen en ella hasta laocurrencia del siguiente siniestro, mientras, todos los excesos se van repartiendo.
Esta ampliación del modelo dará lugar a cambios en la probabilidad de ruina. Para
conseguir la ecuación que nos determine la probabilidad de supervivencia en el modelo
modificado se utilizan los dos enfoques comentados en el modelo sin barrera: enfoque diferencial y enfoque basado en las ecuaciones de renovación.
Eneste trabajo se usará el planteamiento alternativo. Este argumento es, tal y como se
comenta en Grandell (1.991, p.5), más correcto matemáticamente que el método diferencial.
El uso de este enfoque nos permitirá plantearnos políticas de dividendos alternativas a las
estudiadas en la literatura actuarial existente, y para las que el uso del enfoque diferencial no
es aplicable.
En laliteratura actuarial se ha estudiado el efecto en la probabilidad de ruina y su
complementaria de supervivencia de la introducción de diversos tipos de barreras. En caso de
la barrera constante b(t)=bo, evidentemente, la probabilidad de ruina es uno, como se comenta
en Bühlmann (1.970, p. 165). También se ha estudiado en Gerber (1.981) el efecto de la
barrera lineal b(t)=bo +a.t, en el caso concreto...