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Método de Runge-Kutta
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son unos conjuntos demétodos iterativos (Implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial Sea

Una ecuación diferencial ordinaria, con  donde  es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento  entre los sucesivos puntos  y. Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

Con  coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes  del esquema. Siesta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,  para , los esquemas son explícitos.
Ejemplo
Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en  y otra en . ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en  se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:Los coeficientes propios de este esquema son: 
Variantes
Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, paraasí mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.
Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».
Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

DondeAsí, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde  es la pendiente al principio del intervalo,  es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando  para determinar el valor de y en el punto  usando el método de Euler.  es otra vez lapendiente del punto medio, pero ahora usando  para determinar el valor de y;  es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de, mientras que el error totalacumulado tiene el orden. Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de, razón por la cual es usado en los métodos computaciones.

Métodos Runge-Kutta de dos Evaluaciones:
Aqui buscamos métodos o fórmulas numéricas de la forma:

Note que a pesar de que en la fórmula se perciben tres f's, el método envuelve solo dos evaluaciones ya que dos de estas f's tienen los mismos argumentos. Laidea ahora es determinar los parámetros  de modo que el método tenga orden de convergencia lo más alto posible. Un análisis del error local de esta fórmula basado en el Teorema de Taylor muestra que el orden más alto que puede tener esta fórmula es dos y que esto puede ocurrir si y solo si:

Es decir si  cumplen con estas condiciones, entonces ej=y(tj)-yj=O(h2) para toda j. Algunos casos...