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APLICACIONES DE
LA INTEGRAL
Área de una región entre dos curvas

Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de una región entre dos curvas. Las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entrelas gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume elresultado en el teorema siguiente.
Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en sub intervalos, cada uno de Anchura  x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo. El área de este rectángulo representativo es
Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x
Sumando las áreas de los n rectángulos y tomando el límite cuando|||| ! 0 (n ! "), tenemos n lim " [f(xi) - g(xi)] x n ! " i=1
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es:
A = lim " [f(xi) - g(xi)] x = 
[f(x) - g(x)] dx n ! " i=1
Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (deanchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.

Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es
A = [f(x) - g(x)] x= [(x2+ 2) - (-x)] x
A = 
[f(x) - g(x)] dx
= [(x2 + 2) - (-x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10
= 1/3 + ½ + 2 = 
Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.
Aplicación:
Elconsumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:
f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76; -10 " t " 9.
Donde se mide f(t) en miles de millones de barriles y en t en años, correspondiendo t = 0 al primero de enero de 1970. Debido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los años setenta, elmodelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a seguir esta otra forma:
g(t) = -0,00831t2 + 0,152t + 2,81; 9 " t " 16
Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo.
Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en elintervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente:
f(t) g(t)

[(0,000433t2 + 0,0962t + 2,76) - ( -0,00831t2 + 0,152t + 2,81)] dt
= 
(0,008743t2 - 0,0558t - 0,05) dt
=[(0,008743t3/3 )-(0,0558t2/2)-0,05t
" 4,58 miles de millones de barriles
Por tanto, se ahorraron 4,58 miles de millones de barriles de gasolina, que a razón de 42 galones por barril supuso un ahorrode 0,2 billones de galones.

Volumen método de discos

Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos....