base ortogonal

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Conjunto ortonormal en Rn
Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

 Sisolo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.
Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn,entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

 Nota. Si entonces v*v= Esto significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11) TEOREMA:  si S=es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que 
Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y sedice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.


Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt
Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una baseortonormal.
Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que unconjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Eleccion del primer vector unitario
Sea (12) 

Entonces

 De manera que |u|=1.

Paso 2. Eleccion de un segundovector ortogonal a u
Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este caso es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que elvector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector v.

Sea (13) entonces  de manera que v’ es ortogonal a u.mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera  lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario
Sea...