Base Ortonormal

BASES ORTONORMALES

Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.


Recuérdeseque dos vectores u y v en son ortogonales si y sólo si u · v = 0.


Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, senecesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:

u · v , u · w , v · w

Ejemplo 1.

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjuntoortogonal?

Al realizar los productos punto

u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0

nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.Un conjunto de n vectores en es una base ortogonal si:
· El conjunto es base de y
· Es un conjunto ortogonal.


Ejemplo 2.

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v =(4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar si son una base ortogonal de .

Son 3 vectores en , se forma la matriz



cuyo determinante detA = –24 (diferente de cero) , loque implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de .

Realizamos los productos punto y obtenemos que

u · v = 0, u · w = 0 y v · w = 0

por lo queel conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.


Un conjunto de n vectores en es una base ortonormal si:
· El conjunto es base de
· Es un conjunto ortogonal y· Sus vectores son unitarios



Ejemplo 3.

En el ejemplo 2 se determinó que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere sabersi son base ortonormal, esto es, hay que calcular sus magnitudes.



Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base ortonormal.

Recordamos que se puede obtener un...