Base y Dimensión De Un Espacio (Subes Pació) Vectorial

Base y dimensión de un espacio (subes pació) vectorial

Se dice que un conjunto de vectores D = {¯u1, ¯u2, ..., ¯un} forman una base del espacio vectorial V si los vectores de {D} pueden generartodo el espacio vectorial V y si dichos vectores son linealmente independientes. La dimensión del espacio vectorial V es igual al numero de vectores que constituyen su base.
De la misma manera, se diceque un conjunto de vectores E = {¯v1, ¯v2,..., ¯vn} forman una base del subes pació vectorial S si los vectores de {E} pueden generar todo el subespacio vectorial S y si dichos vectores sonlinealmente independientes. La dimensión del subes pació vectorial S es igual al número de vectores que constituyen su base, y se denomina cardinal de V (cardV ),
al número de vectores de la base.

Nota
Unconjunto D = {¯u1, ¯u2, ..., ¯un} es una base de V si todo vector de V puede escribirse de forma única como combinación lineal de los vectores de D. Se dice que un espacio vectorial V es de dimensiónfinita n o n-dimensional si
dimV = n 2 N

Propiedades
1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces todas las bases de V tienen el mismo número de elementos. El espacio vectorial{0} tiene dimensión 0 por definición. Cuando un espacio vectorial no es de dimensión finita, se dice que es de dimensión infinita.
2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, cualquierconjunto de n+1 o mas vectores son linealmente dependientes.
Corolario a la propiedad:
(i) Todo conjunto de vectores linealmente independiente de n elementos es base de V .
(ii) Todo conjunto de vectoresde n elementos que sea sistema generador es base de V .
(iii) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, entonces cualquier conjunto que resulte
de eliminar un vector de una base de V eslinealmente independiente.
(iv) Supongamos que D genera un espacio vectorial V, entonces, cualquier numero máximo de vectores linealmente independientes en D es una base de V .

Teoremas de la...