Base y dimension de un espacio vectorial

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
Dimensión de un espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo que se dice que tiene dimensión si existe una base de cardinal n. En un espacio vectorial, todas las bases tienen el mismo cardinal, lo que hace de la dimensión el primer invariante del álgebra lineal. El espacio vectorial trivial {0} tiene como dimensión 0 porque el conjunto vacío essu base: una combinación de cero vector da el vector nulo.
Intuitivamente hablando, la dimensión de un espacio vectorial nos dice cuántos elementos necesitamos para poder expresar cualquier elemento del espacio en términos de las combinaciones lineales de los primeros, i.e., cuántos elementos del espacio necesitamos para poder expresar todos los elementos del espacio como sumas de múltiplos deéstos elementos. Los espacios vectoriales de dimensión finita son muy comunes en muchas áreas de la ciencia, pero en matemáticas y física cuántica también aparecen casos importante de espacios vectoriales de dimensión infinita.
Se dice que un conjunto de vectores D = {¯u1, ¯u2, ..., ¯un} forman una base del espacio vectorial V si los vectores de {D} pueden generar todo el espacio vectorial V y sidichos vectores son linealmente independientes. La dimensión del espacio vectorial V es igual al número de vectores que constituyen su base.

De la misma manera, se dice que un conjunto de vectores E = {v1, v2,..., vn} forman una base del subespacio vectorial S si los vectores de {E} pueden generar todo el subespacio vectorial S y si dichos vectores son linealmente independientes. La dimensióndel subespacio vectorial S es igual al número de vectores que constituyen su base, y se denomina cardinal de V (cardV ), al número de vectores de la base.

Nota
Un conjunto D = {u1, u2,...,un} es una base de V si todo vector de V puede escribirse de
forma ´única como combinación lineal de los vectores de D. Se dice que un espacio vectorial V
es de dimensión finita n o n-dimensional si
dimV = n2 N
Definición: Base: Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases:
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permiteexpresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases:
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜ n:

e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. .. ,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)


2. Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación linealde ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α,,γ que satisfagan β
(a,b,c)= α(1,0,0)+ (1,1,0)+γ(0,2,-3) β
Se obtiene un sistema:
α+= a β
β+2γ=b
-3γ = c
en las incógnitas α,,γ, que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.

Teorema y definición: Dimensión:
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio osubespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho espacio.
Propiedades de la dimensión:

1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3,...