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LECCIÓN

CONDENSADA

5.1

Funciones exponenciales

En esta lección
●
●
●

Escribirás una fórmula recursiva para modelar un deterioro radiactivo
Encontrarás una función exponencial que pasa por los puntos de una
sucesión geométrica
Aprenderás sobre la semivida del deterioro exponencial el y tiempo de
duplicación del crecimientoexponencial

En el Capítulo 1, usaste fórmulas recursivas para modelar el crecimiento y el
deterioro geométricos. Las fórmulas recursivas sólo generan valores discretos,
tales como la cantidad de dinero en una cuenta bancaria después de 1 ó 2 años.
En muchas situaciones reales, el crecimiento y el deterioro se dan de manera
continua. En esta lección, encontrarás fórmulas explícitas que tepermiten
modelar los crecimientos y los deterioros continuos.

Investigación: El deterioro radiactivo
Lee la sección Science Connection en la página 238 de tu libro. Después lee el
primer párrafo y el Procedure Note de la investigación. Si tienes un dado, puedes
realizar el experimento por tu cuenta, siguiendo estos pasos:
1. Dibuja 30 puntos en una hoja de papel.
2. Lanza el dado una vezpor cada punto. Si sacas un 1, borra o tacha el punto.
3. Cuenta y registra el número de puntos restantes.
4. Repite los Pasos 2 y 3 hasta que haya menos de tres puntos restantes.
Después de reunir los datos, completa los Pasos 1–6 en tu libro. Para obtener los
resultados dados a continuación, se usó la siguiente muestra de datos:
Etapa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

12

Gente en pie
(o puntos restantes)

30

26

19

17

14

12

11

9

8

8

5

5

2

Paso 1

Observa la tabla anterior.

Paso 2

Aquí se presenta una gráfica de los datos.

Para hallar una fórmula que modele los datos, observa las razones de
los valores consecutivos de y:
26
19
17
14
12
ᎏᎏ Ϸ 0.867, ᎏᎏ Ϸ 0.731, ᎏᎏ Ϸ 0.895, ᎏᎏ ϭ 0.824, ᎏᎏ Ϸ0.857,
30
26
19
17
14
11
9
8
8
5
5
2
ᎏᎏ ϭ 0.917, ᎏᎏ Ϸ 0.818, ᎏᎏ Ϸ 0.889, ᎏᎏ ϭ 1, ᎏᎏ ϭ 0.625, ᎏᎏ ϭ 1, ᎏᎏ ϭ 0.4
12
11
9
8
8
5
5

[0, 15, 1, 0, 30, 2]

Usando la media de estos valores, 0.8186, como razón común, encontrarás la
fórmula recursiva
u0 ϭ 30
un ϭ 0.8186 и unϪ1

donde n Ն 1

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press(continúa)
CHAPTER 5

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Lección 5.1 • Funciones exponenciales (continuación)
Paso 3

Para encontrar una expresión para el octavo término, observa el patrón:

u0 ϭ 30
u1 ϭ 0.8186 и u0 ϭ 0.81861 и 30
u2 ϭ 0.8186 и u1 ϭ 0.8186(0.8186 и 30) ϭ 0.81862 и 30
u3 ϭ 0.8186 и u2 ϭ 0.8186΂0.8186 и u1΃ ϭ 0.8186΂0.81862 и u0΃ ϭ 0.81863 и 30Continuando con el patrón, u8 ϭ 0.81868 и 30.
Usando el patrón del Paso 3, un ϭ 0.8186n и 30. Observa que se trata de
una fórmula explícita para la secuencia. Puedes usarla para encontrar el valor de
cualquier término sin hallar los valores de los términos anteriores.
Paso 4

Paso 5 La semivida es el tiempo en que la mitad de la “muestra” deteriora
(es decir, en que 15 estudiantes se sientano se borran 15 puntos). De la tabla
podemos ver que la semivida de la muestra se sitúa entre 3 y 4.
Paso 6 En una muestra radiactiva, una cierta fracción de átomos sufren
un deterioro radiactivo en cada periodo de tiempo. En esta actividad, cada
lanzamiento del dado representa un periodo y los estudiantes que se sientan
(o los puntos borrados) representan los átomos que se deterioran.

Lafórmula de una secuencia geométrica genera un conjunto de puntos discretos.
Ahora aprenderás a hallar la ecuación de una curva que pasa por los puntos.
Trabaja el ejemplo en tu libro, y después lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO

ᮣ

Una moneda rara de la colección de Jo vale $450 en la actualidad. El valor ha
aumentado en 15% cada año. Si el valor continúa aumentando a este ritmo,...