bases 1
Páginas: 13 (3223 palabras)
Publicado: 28 de mayo de 2015
Sergio Yansen Núñez
1.
Determine una base para W =
x, y, z ∈ IR 3 / 2x = 3y = 5z .
Solución:
Sea 2x = 3y = 5z = t
2x = t
3y = t
,
5z = t
,
,
z= t
5
x, y, z ∈ W x, y, z =
t, t, t
2 3 5
x= t
2
,
y= t
3
x, y, z = t 1 , 1 , 1
2 3 5
x, y, z ∈ W x, y, z ∈
Un conjunto generador es
1, 1, 1
2 3 5
1, 1, 1
2 3 5
.
Se puede considerar también B = 15, 10, 6 como conjuntogenerador de W.
Como 15, 10, 6 no es el vector nulo, entonces 15, 10, 6 es un conjunto L.I.
Luego, B = 15, 10, 6 es una base se W pues lo genera y es L.I.
Bases
Sergio Yansen Núñez
2.
Determine una base para W =
x, y, z ∈ IR 3 / 2x − y + z = 0 .
Solución:
2x − y + z = 0
z = −2x + y
x, y, z ∈ W x, y, z = x, y, −2x + y
x, y, z = x, 0, −2x + 0, y, y
x, y, z = x1, 0,−2 + y0, 1, 1
Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ 1, 0, −2 , 0, 1, 1
Un conjunto generador de W es B =
1, 0, −2 , 0, 1, 1
Claramente B es L.I pues no existe k ∈ IR tal que 1, 0, −2 = k0, 1, 1
En efecto, si 1, 0, −2 = k0, 1, 1 , entonces de la igualación de las primeras componentes,
se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción.
Luego, B =
1, 0, −2 , 0, 1, 1
es una base seW pues lo genera y es L.I.
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Sergio Yansen Núñez
Determine una base para W =
3.
x, y, z ∈ IR 3 / x − y + z = 0 , x + y − z = 0 .
Solución:
x−y+z = 0
x+y−z = 0
Formado la matriz aumentada:
1 −1
1
1
−1 0
1
0
La matriz escalonada reducida es:
1 0
0
0
0 1 −1 0
La tercera columna no tiene pivote, por lo tanto la variable z será el paramétro
Sea z = t , t ∈ IR
Las ecuacionesobtenidas a partir de la matriz son:
x=0
y−t = 0
De las ecuaciones anteriores, se obtiene:
x=0
y=t
x, y, z ∈ W x, y, z = 0 , t , t
x, y, z = t0, 1, 1
Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ 〈0, 1, 1〉
Un conjunto generador de W es 0, 1, 1, el cual es L.I, pues 0, 1, 1 no
es el vector nulo.
Luego, B = 0, 1, 1 es una base se W pues lo genera y es L.I.
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Sergio Yansen Núñez
4.Determine una base para
W=
x, y, z, u ∈ IR 4 / x − y + z − u = 0 , x + y − z − u = 0 .
Solución:
x−y+z−u = 0
x+y−z−u = 0
Formado la matriz aumentada:
1 −1
1
1
−1 −1 0
1
−1 0
La matriz escalonada reducida es:
1 0
0
0 1 −1
−1 0
0
0
Las tercera y cuarta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z y u
serán los paramétros
Sean z = t , u = λ
; t , λ ∈ IR
Las ecuacionesobtenidas a partir de la matriz son:
x−λ = 0
y−t = 0
Despejando las variables x e y se obtiene:
x=λ
y=t
x, y, z, u ∈ W x, y, z, u = λ , t , t , λ
x, y, z, u = 0 , t , t , 0 + λ , 0 , 0 , λ
x, y, z, u = t0 , 1 , 1 , 0 + λ1 , 0 , 0 , 1
Luego, x, y, z, u ∈ W x, y, z, u ∈ 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
Un conjunto generador de W es 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
Bases Sergio Yansen Núñez
Claramente 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
es L.I pues no existe k ∈ IR tal que
0 , 1 , 1 , 0 = k1 , 0 , 0 , 1
En efecto, si 0 , 1 , 1 , 0 = k1 , 0 , 0 , 1 , entonces de la igualación de las segundas
componentes, se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción.
Luego, B =
0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
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es una base se W pues lo genera y es L.I.
Sergio YansenNúñez
5.
Determine una base para
W=
x, y, z, u, v ∈ IR 5 / x + y + z + u + v = 0 , x − y + z − u + v = 0
Solución:
x+y+z+u+v = 0
x−y+z−u+v = 0
Formado la matriz aumentada:
1
1
1
1
1 0
1 −1 1 −1 1 0
La matriz escalonada reducida es:
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
Las tercera , cuarta y quinta columnas no tienen pivote, por lo tanto las
variables z , u y v serán los paramétros
Sean z = t , u = λ, v = μ ; t , λ , μ ∈ IR
Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son:
x+t+μ = 0
y+λ = 0
Despejando las variables x e y se obtiene:
x = −t − μ
y = −λ
x, y, z, u, v ∈ W x, y, z, u, v = −t − μ , − λ , t , λ , μ
x, y, z, u, v = −t , 0 , t , 0 , 0 + 0 , − λ , 0 , λ , 0 + −μ , 0 , 0 , 0 , μ
x, y, z, u, v = t−1 , 0 , 1 , 0 , 0 + λ0 , − 1 , 0 , 1 , 0 + μ−1 , 0 , 0 , 0 ,...
1.
Determine una base para W =
x, y, z ∈ IR 3 / 2x = 3y = 5z .
Solución:
Sea 2x = 3y = 5z = t
2x = t
3y = t
,
5z = t
,
,
z= t
5
x, y, z ∈ W x, y, z =
t, t, t
2 3 5
x= t
2
,
y= t
3
x, y, z = t 1 , 1 , 1
2 3 5
x, y, z ∈ W x, y, z ∈
Un conjunto generador es
1, 1, 1
2 3 5
1, 1, 1
2 3 5
.
Se puede considerar también B = 15, 10, 6 como conjuntogenerador de W.
Como 15, 10, 6 no es el vector nulo, entonces 15, 10, 6 es un conjunto L.I.
Luego, B = 15, 10, 6 es una base se W pues lo genera y es L.I.
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2.
Determine una base para W =
x, y, z ∈ IR 3 / 2x − y + z = 0 .
Solución:
2x − y + z = 0
z = −2x + y
x, y, z ∈ W x, y, z = x, y, −2x + y
x, y, z = x, 0, −2x + 0, y, y
x, y, z = x1, 0,−2 + y0, 1, 1
Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ 1, 0, −2 , 0, 1, 1
Un conjunto generador de W es B =
1, 0, −2 , 0, 1, 1
Claramente B es L.I pues no existe k ∈ IR tal que 1, 0, −2 = k0, 1, 1
En efecto, si 1, 0, −2 = k0, 1, 1 , entonces de la igualación de las primeras componentes,
se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción.
Luego, B =
1, 0, −2 , 0, 1, 1
es una base seW pues lo genera y es L.I.
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Sergio Yansen Núñez
Determine una base para W =
3.
x, y, z ∈ IR 3 / x − y + z = 0 , x + y − z = 0 .
Solución:
x−y+z = 0
x+y−z = 0
Formado la matriz aumentada:
1 −1
1
1
−1 0
1
0
La matriz escalonada reducida es:
1 0
0
0
0 1 −1 0
La tercera columna no tiene pivote, por lo tanto la variable z será el paramétro
Sea z = t , t ∈ IR
Las ecuacionesobtenidas a partir de la matriz son:
x=0
y−t = 0
De las ecuaciones anteriores, se obtiene:
x=0
y=t
x, y, z ∈ W x, y, z = 0 , t , t
x, y, z = t0, 1, 1
Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ 〈0, 1, 1〉
Un conjunto generador de W es 0, 1, 1, el cual es L.I, pues 0, 1, 1 no
es el vector nulo.
Luego, B = 0, 1, 1 es una base se W pues lo genera y es L.I.
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Sergio Yansen Núñez
4.Determine una base para
W=
x, y, z, u ∈ IR 4 / x − y + z − u = 0 , x + y − z − u = 0 .
Solución:
x−y+z−u = 0
x+y−z−u = 0
Formado la matriz aumentada:
1 −1
1
1
−1 −1 0
1
−1 0
La matriz escalonada reducida es:
1 0
0
0 1 −1
−1 0
0
0
Las tercera y cuarta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z y u
serán los paramétros
Sean z = t , u = λ
; t , λ ∈ IR
Las ecuacionesobtenidas a partir de la matriz son:
x−λ = 0
y−t = 0
Despejando las variables x e y se obtiene:
x=λ
y=t
x, y, z, u ∈ W x, y, z, u = λ , t , t , λ
x, y, z, u = 0 , t , t , 0 + λ , 0 , 0 , λ
x, y, z, u = t0 , 1 , 1 , 0 + λ1 , 0 , 0 , 1
Luego, x, y, z, u ∈ W x, y, z, u ∈ 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
Un conjunto generador de W es 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
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Claramente 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
es L.I pues no existe k ∈ IR tal que
0 , 1 , 1 , 0 = k1 , 0 , 0 , 1
En efecto, si 0 , 1 , 1 , 0 = k1 , 0 , 0 , 1 , entonces de la igualación de las segundas
componentes, se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción.
Luego, B =
0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
Bases
es una base se W pues lo genera y es L.I.
Sergio YansenNúñez
5.
Determine una base para
W=
x, y, z, u, v ∈ IR 5 / x + y + z + u + v = 0 , x − y + z − u + v = 0
Solución:
x+y+z+u+v = 0
x−y+z−u+v = 0
Formado la matriz aumentada:
1
1
1
1
1 0
1 −1 1 −1 1 0
La matriz escalonada reducida es:
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
Las tercera , cuarta y quinta columnas no tienen pivote, por lo tanto las
variables z , u y v serán los paramétros
Sean z = t , u = λ, v = μ ; t , λ , μ ∈ IR
Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son:
x+t+μ = 0
y+λ = 0
Despejando las variables x e y se obtiene:
x = −t − μ
y = −λ
x, y, z, u, v ∈ W x, y, z, u, v = −t − μ , − λ , t , λ , μ
x, y, z, u, v = −t , 0 , t , 0 , 0 + 0 , − λ , 0 , λ , 0 + −μ , 0 , 0 , 0 , μ
x, y, z, u, v = t−1 , 0 , 1 , 0 , 0 + λ0 , − 1 , 0 , 1 , 0 + μ−1 , 0 , 0 , 0 ,...
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