Bases 7y dimensiones



República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental
“Rafael María Baralt”



Bases Y Dimensiones


Integrantes:
Iraly González
Leainy Puche
Hecgali Salas
Yorvys Acosta
Lewis Oviedo
Andrés León
Johan de la Hoz
Giovanny Sánchez

San Fco, 10/05/13

Índice
Bases y Dimensiones

Definición de Bases………………………………………………… 1
Propiedad deBases………………………………………………... 2
Tipos de Base……………………………………………………… 3
Definición de Dimensión……………………………………………. 4
Propiedades de Dimensión…………………………………………. 5
Formula de las Dimensiones……………………………………….. 6
Teorema……………………………………………...................... 7
Coordenadas y Cambio de Base…………………………………... 8


 










1. Se llama base de un espacio (o sub espacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o sub espacio, que sea a lavez linealmente independiente.

2. Propiedades:

Una base de S es un sistema generador mínima de S (lo más pequeño posible).
Además es un conjunto independiente máxima dentro de S (lo más grande posible).
Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

3. Tipos:

La base canónica (o base natural, o baseestándar) de ℜ n:
e1 = (1, 0,. . . ,0)
e2 = (0, 1,. . . ,0)

en = (0, 0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1, a2,. . ., an) ∈ ℜ
N se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1, a2,. . ., an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1).

Otra base de ℜ3 distinta dela canónica: (1, 0,0), (1, 1,0), (0, 2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector (a, b, c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α, , β γ que satisfagan
(A, b, c)= α (1, 0,0)+β (1, 1,0)+γ (0, 2,-3)

Se obtiene un sistema:
α+β = a
β +2γ =b
-3γ = c
Enlas incógnitas α, β γ, que es compatible determinado para cualesquiera a, b, c.

Base de un sub espacio. En ℜ3, consideremos el sub espacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3, 2,0), (1, –1,0) forman una base de S.
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a, b, 0), lo podemos ponercomo combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:
(A, b, 0)= α (3, 2,0)+β (1, –1,0) Æ 3α+β = a
2α–β = b (S. C. D. para cualesquiera a, b)

Extender un conjunto para que forme base.

¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ3?
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Pero noson un sistema generador de ℜ3, porque no es cierto que todo vector de ℜ3 pueda ponerse como combinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0, 1,0) no se puede poner (resulta un sistema incompatible).
Por tanto no son base de ℜ3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ3 de algún modo?
Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). Así elconjunto (1, 0,2), (1,0, –1), (0, 1,0) es linealmente independiente, y genera ℜ3, por tanto es base de ℜ3.



Reducir un conjunto para que forme base.

¿Es (2, 0,0), (0, 3,0), (4, 1,0) base de S=plano XY de ℜ3?
- Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo).
Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo?
Sí. Estos tresvectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinación lineal de los demás y puede suprimirse: por ejemplo suprimimos (4,1,0), ya que al quitarlo no baja el rango. (También podría quitarse cualquiera de los otros dos). Los restantes vectores (2,0,0), (0,3,0) siguen generando el mismo sub espacio S y son independientes. Son por tanto base de S.

4....