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Lógica Matemática. Sección: 9.02. U.N.A.H.
Bases del conocimiento .
Durante cientos de años, los matemáticos se habían ocupado en utilizar demostraciones lógicas para
construir desde lo conocido hacia lo desconocido. El progreso había sido prodigioso, con cada nueva
generación de matemáticos edificando sobre la magnífica estructura y creando nuevos conceptos de
números y de geometría. Sin embargohacia el final del siglo xix, en lugar de mirar hacia delante, los
lógicos matemáticos comenzaron a volverse hacia los cimientos de las matemáticas sobre los que se
había construido todo lo demás. Querían verificar las bases de las matemáticas, así que lo
reconstruyeron todo desde los primeros principios con un absoluto rigor a fin de reasegurarse de que
aquellos principios originarios eransólidos.
Los matemáticos destacan por ser rigurosísimos cuando se trata de llegar a una demostración absoluta
antes de aceptar cualquier afirmación. Este rigor queda muy bien expresado en una historia que narra
Ian Stewart en Concepts of Modern Mathematics («Conceptos de matemáticas modernas»):
Un astrónomo, un físico y un filósofo (el ultimo lógico-matemático, según cuentan) estaban
de vacaciones enEscocia. Mirando por la ventana del tren distinguieron una oveja negra
en medio de un prado. «¡Qué interesante —observó el astrónomo—, en Escocia las ovejas
son negras!» A lo que respondió el físico: «¡No, no! ¡Algunas ovejas escocesas son
negras!» El filósofo (lógico-mátemático) miró suplicante al cielo y entonces articuló: «En
Escocia existe al menos un campo que tiene al menos una oveja con almenos uno de sus
costados de color negro.»
Aún más riguroso que el matemático ordinario es aquel que esta especializado en el estudio de la
lógica matemática. Los lógicos matemáticos comienzan cuestionando ideas que otros matemáticos
han dado por sentadas durante siglos. Así, la ley de la tricotomía establece que todo número es o bien
negativo o bien positivo o bien igual a cero. Esto parece obvio ylos matemáticos lo habían asumido
como cierto de forma tácita, pero nadie se había tomado la molestia de demostrar que de verdad era
ése el caso.
Los lógicos notaron que, hasta que la ley de la tricotomía no se probara como cierta, podría ser falsa,
y si ocurriera esto último, la totalidad de un edificio del conocimiento, todo lo basado en dicha ley,
se colapsaría. Por suerte para losmatemáticos, al final del siglo pasado la ley de la tricotomía se
demostró como cierta.
Desde los antiguos griegos, las matemáticas habían existido por la acumulación de más y más
teoremas y verdades, y aunque la mayoría se había demostrado con todo rigor, atañía a los
matemáticos que algunos de ellos, como la ley de la tricotomía, se hubieran deslizado sin ser
examinados como debieran.
Algunas ideas habíanllegado a formar parte de la sabiduría popular y nadie estaba seguro de cómo
se habían demostrado en un principio, si es que en verdad se demostraron alguna vez; de modo que
los lógicos decidieron probar cada teorema desde los principios más remotos. Sin embargo, cada
verdad debía deducirse de otras verdades. Estas verdades, a su vez, tendrían que demostrarse antes
a partir de otras verdades aúnmás básicas, y así siempre. Al cabo de cierto tiempo, los lógicos se
encontraron ocupándose de unas cuantas premisas fundamentales, tan esenciales que ya no pudieron
ser demostradas.
Estas presunciones constituyen los axiomas matemáticos.
Un ejemplo de axioma es la ley conmutativa de la adición, la cual establece que, para cualesquiera
números m y n ,
m+n=n+m
Se considera que éste y un puñado deotros axiomas son evidentes en sí mismos y pueden ponerse a
prueba con facilidad si se los aplica a números concretos. Hasta ahora los axiomas han superado cada
comprobación y se los ha aceptado como el fondo último de las matemáticas. El reto de los lógicos
consistía en reconstruir todas las matemáticas a partir de esos axiomas.
Todo un ejército de lógicos participó en el lento y penoso proceso...