Bases Ortonormales-Mathematica

Proyecto MA0292
Ricardo Apú Chinchilla
Steven Castro
Ángelo Lobo Cheloukhin

Parte 1.
Base Ortonormal de un Espacio Vectorial
Una base ortonormal de un espacio vectorial (con producto interno), es un conjunto de elementos
cuyo espacio vectorial generado es denso en el espacio y a su vez sus elementos son tanto ortogonales como normales.
Una base ortonormal es una base ortogonaltransformada mediante el producto del escalar apropiado, la norma de cada elemento que compone la base es unitario
Sea V={v1,v2,...vk}, V es una base ortonormal si el producto punto de cualesquiera dos vectores
que contiene es igual a 1. O sea, que son mutuamente perpendiculares.

Desarrollo Histórico.
Los esfuerzos por analizar señales se remontan al año de 1807, con trabajos como los de JosephFourier acerca del análisis de frecuencias, que dio origen a las Series de Fourier. En 1930, diversos investigadores enfocaron su estudio a la representación de funciones utilizando funciones
básicas de escala variable llamadas Funciones básicas de Haar.
La transformada de Fourier posibilitó la descomposición de cualquier función periódica en un
conjunto de funciones bases ortonormales de senos ycosenos, esto permite analizar la señal en
términos de su frecuencia.
El análisis de Fourier, era un tipo de análisis espectral de potencias, con métodos de series de
tiempo. En el análisis de Fourier, las ondas elementales son seno y coseno. Al aplicar la transformación lineal, la señal que está en el dominio del tiempo cambia a otra función en el dominio de las
frecuencias. La Transformada deFourier presupone que la señal tenga ciertas características,
entre ellas, la estacionalidad.
En 1909, Alfred Haar hizo el descubrimiento de otro sistema ortonormal de funciones. Este proporcionó la forma más simple de ondeletas ortonormales, que consistía en un conjunto de funciones
base rectangulares. El uso de las funciones quedaba limitado, debido a su discontinuidad.
“En 1985, MallatStephane impulsó el desarrollo de las ondeletas a partir de su trabajo en el procesamiento de señales digitales, ya que descubrió relaciones entre los filtros de la cuadratura del
espejo, algoritmos piramidales y bases de ondeletas ortonormales. Inspirándose de estos resultados, Yves Meyer construyó las primeras ondeletas no triviales, diferenciables; pero, no decaen
rápidamente a cero, lo que esnecesario para la convergencia de las series que se forman a partir
de ellas. Daubechies Ingrid (2004), utilizó el trabajo de Mallat y construyó un conjunto de funciones
base de ondeletas ortonormales que son la base de la aplicación de ondeletas en nuestros días.”

2

Proyecto Ciclo II MA0292.nb

Las ondeletas o wavelets, son una forma de análisis de señales que surgió por el uso de latransformada de Fourier en señales no estacionarias. Deben su nombre a los trabajos de Morlet, Arens,
Fourgeau y Giard (1982), Morlet (1983), Grossman y Morlet (1984), (Daubechies, 2004). Las
ondeletas proveen una herramienta matemática muy sencilla con una gran variedad de aplicaciones.
Son utilizadas principalmente para el análisis de funciones, de acuerdo al método de escalamiento.
Latransformada de ondeleta es una función que satisface algunos requerimientos matemáticos, los
cuales son utilizados para representar datos o funciones. Este proceso analiza los datos en diferentes escalas o resoluciones. Por ejemplo, si se toma una “ventana” de los datos, notariamos el
mismo comportamiento que si se toma una ventana más pequeña, y así sucesivamente.
La transformada de ondeleta proveeuna representación en frecuencia–tiempo simultáneamente,
corta la señal de interés en varias partes y analiza cada una de ellas por separado. Esta, al igual
que la transformada de Fourier, es una transformación reversible, que permite ir de la señal original
a la transformada y viceversa, cuando se requiera.

Elementos básicos de transformadas de ondeletas
“La transformada de ondeleta,...