Bases ortonormales

Introducción
Para poder entender lo que es una base ortonormal es necesario dar a conocer la importancia de un espacio vectorial, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático),cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
Y una base ortonormal es un conjunto de elementos cuyo span (Espacio vectorial generado o span lineal o espacio lineal o lineal hull o capsula lineal. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, y sea S un subconjunto de V)
Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformaruna base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal. Al igual que con una base ortogonal, se puede crear un arreglo de bases ortonormales para formar una matriz ortonormal.

Índice
Introducción…………………………………………………………………………………………………………………… | 2 |Índice………………………………………………………………………………………………………………………………. | 3 |
Base ortonormal: …………………………………………………………………………………………………………. | 4 |
Antecedentes………………………………………………………………………………………………………………… | 4 |
Definición………………………………………………………………………………………………………………………. | 5-6 |
Procesos ortonormales; proceso de gram- schmidt; descomposición Gr……………. | 6-8 |
coordenadas relativas a basesortonormales……………………………………………………………. | 8-10 |
Determinación de bases ortonormales …………………………………………………………………….. | 11 |
Descomposición de Qr……………………………………………………………………………………………….. | 11-14 |
Conclusión……………………………………………………………………………………………………………………… | 15 |
Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………………….. | 16 |

BASES ORTONORMALES
Antecedentes
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espaciovectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante elproducto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Los vectores que forman una base ortonormal son perpendiculares entre sí, y además tienen de modulo la unidad.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos sonimportantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la baseortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno.
Característica:
Dos vectores son ortonormales si:
* Su producto escalares cero.
* Los dos vectores son unitarios.

BASES ORTONORMALES
En un espacio vectorial de dimensión finita con un producto escalar, podemos seleccionar bases con propiedades especiales llamadas bases ortonormales. Tales bases tienen muchas propiedades que nos proponemos estudiar en esta sección.
DEFINICION
En un espacio vectorial V con un producto...