Bases Ortonormales

Bases ortonormales

Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.


Recuérdese que dosvectores u y v en son ortogonales si y sólo si u · v = 0.


Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizartodas las combinaciones de los productos punto:

u · v , u · w , v · w

Ejemplo 1.

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal?

Al realizarlos productos punto

u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0

nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.



Un conjunto de n vectores en esuna base ortogonal si:
        El conjunto es base de y
        Es un conjunto ortogonal.


Ejemplo 2.

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar sison una base ortogonal de .

Son 3 vectores en , se forma la matriz



cuyo determinante detA = –24 (diferente de cero) , lo que implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjuntoes base de .

Realizamos los productos punto y obtenemos que

u · v = 0, u · w = 0 y v · w = 0

por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.


Un conjunto de nvectores en es una base ortonormal si:
        El conjunto es base de
        Es un conjunto ortogonal y
        Sus vectores son unitarios



Ejemplo 3.

En el ejemplo 2 se determinó que losvectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal, esto es, hay que calcular sus magnitudes.



Obtenemos que no son vectoresunitarios, por lo tanto no es una base ortonormal.

Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma dirección de un vector dado, dividiéndolo entre su magnitud:
Vector unitario =...