bases y dimenciones

BASES Y DIMENSIÓN
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Unabase de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜn:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ
n
porquetodo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ
n
se puede expresar
como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
2. Otra base de ℜ
3distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ
3
porque cualquier vector (a,b,c) sepuede poner como
combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan
(a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2,-3)
Se obtiene un sistema:
α + β = a
β +2γ =b-3γ = c
en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.
3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ
3
no forman base porque no son linealmente independientes
(sudeterminante es nulo).
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 21
4. Base de un subespacio. En ℜ
3
, consideremos elsubespacio S= plano XY. Veamos que
los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Son un sistema generador de S:...