Bases

BASES:
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de lasbases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de Spermite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.
Dimensión:
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número devectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, esel máximo rango que puede tener un
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
conjunto de vectoresde dicho espacio.
Propiedades de la dimensión.
1. Significado físicode la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2,
las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.
2. La dimensión de un subespacioen ℜn
, coincide con el número de parámetros libres en
su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤dim T.
Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.
Es decir:si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r,
entonces dim S = r.
(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)Espacios y subespacios vectoriales:
Sea V un conjunto al que sus elementos llamaremos vectores. Diremos que V
es un espacio vectorial si tenemos una operación interna + : V V ! V y una operación...