Basicamente

Básicamente --
may = posibilidad (puede que + subj.) o permiso para hacer algo (tener permiso) --
Puede que + subjuntivo = may/might + inf
Puede + inf = can + inf
Podrá, Podría + inf = could + inf
Pudo, Podía + inf = could + verbo de talento o habilidad física en el pasado/ ó / could have + verbo describiendo una posibilidad en el pasado
Tener el permiso para = may/can + inf

.Could;Se usa:

Para expresar habilidad o capacidad en el pasado.

He could play tennis when he was five

Para expresar posibilidad, aunque más remota que con can.

All this information could be helpful

Para pedir un favor de manera educada.

Could you help me?

.May:

Se usa:

Para expresar la posibilidad de que algo ocurra en el presente o en el futuro.

I may go to aerobics classSi se traduce may en este uso por “puede que”, “tal vez” o “quizá”, can significa que algo es posible porque las circustancias reales lo permiten, mientras que may indica que algo no es seguro, que puede ocurrir o no.

Para pedir y dar permiso, Se considera más educado que can.

May / Can come in?

Cuando aparece en forma negativa indica prohibición.

You may not leave the room.

Mejorrespuesta - Elegida por el usuario que pregunta
El pasado de "can" es "could", "could" también puede ser usado como "podría"

Can=poder
May=poder (permiso) ó ser posible
Might=puede que
Would=auxiliar que indica "-ía" al final de una palabra
Must=deber
Should=debería

I can run fastly
Yo puedo correr rápidamente

I could pay, but I won't
Podría pagar, pero no lo haré

I could doit!!
Pude hacerlo!!

It might be hard
Puede que sea difícil

You must eat!
Debes comer!

He should sleep a little
El debería dormir un poco

I would be a better person
Yo sería mejor persona

Can / could = ability
May/might = Possibility .

I can sing ( puedo cantar )
It may rain ( puede que llueva )
__________________

Son muy parecidos, pero existen sutiles diferencias:It may rain tomorrow=Puede llover mañana
It might rain tomorrow=Podría ser que llueva mañana,

las dos expresan una predicción: estás diciendo que tu opinas que quizá llueva mañana.

It could rain tomorrow=Podría llover mañana
indica la posibilidad física de que llueva.

Por ejemplo, si tu miras las nubes y piensas que indican que lloverá, pero no estás segura, dices la frase con may omight. Es más común might.
Si tu amigo está diciendo que se va a ir de excursión con sólo camisetas de verano, le puedes decir: Take a coat too, it could rain and you'd get wet!

Peticiones formales
Para solicitar o conceder permiso hemos visto que se puede emplear can.
 Can I ask you a question? Yes, of course you can
 ¿Puedo hacerte una pregunta? Sí, por supuesto que puedes
 You can gohome now, if you like
 Puedes marcharte a casa ahora, si lo deseas
Can es la forma más usada, pero en un estilo más formal se utiliza el condicional could - podría, en vez de can - puedo. También hay otro verbo modal may - puedo, que se usa para hacer peticiones o conceder permiso en un estilo más formal.
 Could I ask you a question, if you are not too busy?
 ¿Podría hacerte una pregunta, si noestás demasiado ocupado?
 You may go home now, if you like
 Puede marcharse a casa ahora, si lo desea
Veamos un ejemplo:
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 Can I come in? - uso informal
 Could I come in? o May I come in? - uso formal
Para pedir ayuda también utilizamos can y could pero no may. Can you help me?   Could you help me?
 ¿Puedes ayudarme?   ¿Podrías ayudarme?
Veamos algunos ejemplos más:
Can you  give me a hand? Yes, all right
¿Puedes echarme una mano? Sí, de acuerdo
Could you lend me five pounds? Yes, of course
¿Podrías prestarme cinco libras? Sí, por supuesto
Could you help me, please? I'm sorry, I'm a bit busy
¿Me podría ayudar, por favor? Lo siento, estoy ocupado...