Basici de matematica

asico de matematica1 ,

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Contents

1 Conceptos b´sicos de la matem´tica a a 1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Clases de conjuntos . . . . . . . 1.2.2 La inclusi´n de conjuntos . . . o 1.2.3 Operaciones con conjuntos . . . 1.2.4 Diagramas de Venn . . . . . . . 1.2.5 Propiedades de las operaciones 1.2.6 Familias deconjuntos . . . . . . 1.2.7 El producto cartesiano . . . . . 1.2.8 Relaciones de Equivalencia . . . 1.2.9 Particiones . . . . . . . . . . . . 1.3 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Operaciones binarias . . . . . . . . . . 1.5 Una axiom´tica para los enteros . . . . a 1.6 Orden en los enteros . . . . . . . . . . 1.7 Axioma del Elemento M´ ınimo . . . . . 1.8 Inducci´n matem´tica . . . . . . . .. o a

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CONTENTS

Chapter

1

Conceptos b´sicos de la matem´tica a a
1.1 Introducci´n o

La teor´ de conjuntos es la base de la matem´tica moderna. ıa a

1.2

Conjuntos

En esta secci´n damos una serie de propiedades b´sicas de los conjuntos, as´ como tambi´n o a ı e las notaciones pertinentes. Un conjunto es una clase o colecci´n de objetos de la misma o naturaleza. Estos objetosser´n llamados los elementos del conjunto. Sabemos que esta a definici´n es un poco vaga, o ambigua, pues no hemos definido lo que son los objetos a o partir de los cu´les se construyen los conjuntos. Por tal motivo, no daremos una definici´n a o formal, sino que aceptamos a los conjuntos y los elementos como conceptos primitivos. Usamos letras may´sculas para indicar a los conjuntos y min´sculaspara los elementos. u u Ejemplos de conjuntos son A, el conjunto de todos los habitantes de M´rida, B el conjunto e de todas las letras del alfabeto, C el conjunto de todas las sinfon´ de Wolfgang Amadeus ıas Mozart,...etc. Si a es un elemento del conjunto A, usaremos la notaci´n a ∈ A para indicar que a o pertenece al conjunto A. El s´ ımbolo “∈”” se llama s´ ımbolo de pertenencia. Una forma deexpresar los conjuntos es colocando sus elementos entre un par de llaves. Por ejemplo A = {casa, rueda, sapo}. As´ pues el conjunto A posee tres elementos que son las palabras ı del espa˜ol casa, rueda y sapo. Podemos decir entonces casa ∈ A. Cuando un objeto n no sea un elemento de un conjunto, usamos el s´ ımbolo “∈” para indicarlo. Si A es el / conjunto anterior, entonces se tiene “pueblo” ∈ A. Hayun conjunto que conviene definir / para efectos de la teor´ y es el conjunto vac´ que se simboliza por la letra ∅. El vac´ ıa, ıo, ıo no contiene nada, pero sin embargo el mismo es un conjunto. 5

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´ ´ CHAPTER 1. CONCEPTOS BASICOS DE LA MATEMATICA

Otra forma de dar los conjuntos es mediante alguna condici´n que cumplen todos sus o elementos. Por ejemplo el conjunto C = {23, 24, 25, 26,27, 28, 29, 30} se puede expresar como C = {x | x es un n´mero entero entre 24 y 30 } . u

1.2.1

Clases de conjuntos

Es posible tener un conjunto, cuyos elementos sean a la vez conjuntos. Estos conjuntos de conjuntos, se denominan Clases o bien familias de conjuntos y los denotamos con letras may´sculas especiales como A, B, C,...etc. Por ejemplo podemos formar los tres u conjuntos: A =...