Batman
Páginas: 7 (1584 palabras)
Publicado: 30 de noviembre de 2011
Àlgebra Grau audiovisual
Examen de la segona avaluació Gener 2009 POSSIBLE RESOLUCIÓ
Durada de l’examen: 2 hores No es considerarà vàlida cap resposta que no estigui raonada de forma breu i clara. 1. Considereu els vectors {(1 1 −1) (2 1 2) (2 0 6) (1 2 −5)} i el subespai de R3 que generen. (a) Quines condicions han de verificar i per tal que el vector ( ) sigui de? (b) Doneu la dimensió i una base de . (c) Justifiqueu si el vector u = (4 2 4) pertany o no a (d) Determineu els valors d’ i per tal que el vector (1 ) sigui de (2’5 punts) (a) Per tal que el vector ( ) sigui de cal que sigui combinació lineal dels vectors de l’enunciat. És a dir, cal que ∃ ∈ R ( ) = (1 1 −1) + (2 1 2) + (2 0 6) + (1 2 −5) Aixòés equivalent al fet que el sistema següent tingui solució per a : ⎫ ⎛ ⎞ ⎞ + 2 + 2 + = ⎬ 1 2 2 1 ⎝ 1 1 0 2 ⎠ ⎠ + + 2 = esquemàticament: ⎭ − + 2 + 6 − 5 = −1 2 6 −5
Simplificació pel mètode de Gauss: ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 1 2 2 1 1 2 2 1 ⎝ 0 −1 −2 1 ⎠ ⎠ − ⎝ 0 −1 −2 1 ⎠ − ⎠ ∼ − + 0 4 8 −4 + + 4 0 0 0 0 + 4 − 3 Per a que el sistema tinguisolució cal que l’última fila no sigui incompatible, és a dir, cal que + 4 − 3 = 0 Per tant la condició pet tal que ( ) sigui de és que + 4 − 3 = 0 (b) Pel que s’ha vist a l’apartat a) = {( )| + 4 − 3 = 0} Aïllant la variable a la condició, = −3 − 4, els vectors de es poden escriure com ( 3 − 4) on són variables lliures. Per trobar una base, es potdescomposar el vector genèric de en suma de dos separant els termes amb i amb traient factor comú: ( 3 − 4) = ( 0 3) + (0 −4) = (1 0 3) + (0 1 −4) D’aquí es dedueix que els vectors (1 0 3) (0 1 −4) són generadors dels vectors de A més aquests vectors són linealment independents, perquè no són proporcionals. Per tant, (1 0 3) (0 1 −4) és una base de . I d’aquíes dedueix que dim = 2
(c) u = (4 2 4) pertany a si satisfà la condició: + 4 − 3|u = 4 + 4 · 2 − 3 · 4 = 0 Sí satisfà la condició, per tant sí pertany a (d) Com en l’apartat anterior, v = (1 ) pertany a si satisfà la condició v = (1 ): + 4 − 3|v = + 4 − 3 = 0 Per tant els valors d’ i demanats són els que satisfan + 4 = 3
2. Donada la base = {(1 1 00) (0 1 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)} de R4 i el vector v = (5 6 7 8): (a) Calculeu les components del vector v en base . (b) El vector u, que en base s’escriu u = (1 2 3 4) ,quines components té en base canònica? (2’5 punts) (a) Per calcular les components del vector v en base cal escriure’l com a combinació lineal dels vectors de la base: v = (5 6 7 8) = (1 1 0 0) +(0 1 1 0) + (0 0 1 1) + (0 0 0 1) ? Per això cal resoldre el sistema següent: ⎫ =5 ⎪ ⎪ ⎬ +=6 +=7 ⎪ ⎪ ⎭ +=8 = 6 − = 1 = 7 − = 6
Com que el sistema és molt senzill, es pot resoldre per substitució de dalt a baix, obtenint: = 5 =8− =2
Per tant les components del vector en base són: v = (5 1 6 2) (b) Les components d’u en base són els escalars ( ) que expressen aquest vector com a combinació lineal dels vectors de la base. Per tant: u = (1 2 3 4) = 1(1 1 0 0) + 2(0 1 1 0) + 3(0 0 1 1) + 4(0 0 0 1) = (1 3 5 7) És a dir, que les components de u en base canònica són: (1 3 5 7)
3. Classifiqueu (tipus i graus de llibertat) el sistema següent, segons el valor dels paràmetres i : ⎧ ⎨ ++ =1 − + 2 + = 1 ⎩ + + = (2’5 punts) ⎞ ⎞ 1 1 1 1 Esquemàticament el sistema és: ⎝ −1 2 1 ⎠ 1 ⎠ 1 1 ⎛
Si −1 6= 0 no hi ha cap fila de coeficients nul·la. Per tant el sistema és compatible (té solució). I hi ha tantes files com incògnites, per tant és determinat (una sola solució, 0 graus de llibertat) Resolució del sistema per substitució de baix a dalt : ⎫ ++ =1 ⎬ ⇒ = −1 ⇒ = 2 (1 − ) =...
Examen de la segona avaluació Gener 2009 POSSIBLE RESOLUCIÓ
Durada de l’examen: 2 hores No es considerarà vàlida cap resposta que no estigui raonada de forma breu i clara. 1. Considereu els vectors {(1 1 −1) (2 1 2) (2 0 6) (1 2 −5)} i el subespai de R3 que generen. (a) Quines condicions han de verificar i per tal que el vector ( ) sigui de? (b) Doneu la dimensió i una base de . (c) Justifiqueu si el vector u = (4 2 4) pertany o no a (d) Determineu els valors d’ i per tal que el vector (1 ) sigui de (2’5 punts) (a) Per tal que el vector ( ) sigui de cal que sigui combinació lineal dels vectors de l’enunciat. És a dir, cal que ∃ ∈ R ( ) = (1 1 −1) + (2 1 2) + (2 0 6) + (1 2 −5) Aixòés equivalent al fet que el sistema següent tingui solució per a : ⎫ ⎛ ⎞ ⎞ + 2 + 2 + = ⎬ 1 2 2 1 ⎝ 1 1 0 2 ⎠ ⎠ + + 2 = esquemàticament: ⎭ − + 2 + 6 − 5 = −1 2 6 −5
Simplificació pel mètode de Gauss: ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 1 2 2 1 1 2 2 1 ⎝ 0 −1 −2 1 ⎠ ⎠ − ⎝ 0 −1 −2 1 ⎠ − ⎠ ∼ − + 0 4 8 −4 + + 4 0 0 0 0 + 4 − 3 Per a que el sistema tinguisolució cal que l’última fila no sigui incompatible, és a dir, cal que + 4 − 3 = 0 Per tant la condició pet tal que ( ) sigui de és que + 4 − 3 = 0 (b) Pel que s’ha vist a l’apartat a) = {( )| + 4 − 3 = 0} Aïllant la variable a la condició, = −3 − 4, els vectors de es poden escriure com ( 3 − 4) on són variables lliures. Per trobar una base, es potdescomposar el vector genèric de en suma de dos separant els termes amb i amb traient factor comú: ( 3 − 4) = ( 0 3) + (0 −4) = (1 0 3) + (0 1 −4) D’aquí es dedueix que els vectors (1 0 3) (0 1 −4) són generadors dels vectors de A més aquests vectors són linealment independents, perquè no són proporcionals. Per tant, (1 0 3) (0 1 −4) és una base de . I d’aquíes dedueix que dim = 2
(c) u = (4 2 4) pertany a si satisfà la condició: + 4 − 3|u = 4 + 4 · 2 − 3 · 4 = 0 Sí satisfà la condició, per tant sí pertany a (d) Com en l’apartat anterior, v = (1 ) pertany a si satisfà la condició v = (1 ): + 4 − 3|v = + 4 − 3 = 0 Per tant els valors d’ i demanats són els que satisfan + 4 = 3
2. Donada la base = {(1 1 00) (0 1 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)} de R4 i el vector v = (5 6 7 8): (a) Calculeu les components del vector v en base . (b) El vector u, que en base s’escriu u = (1 2 3 4) ,quines components té en base canònica? (2’5 punts) (a) Per calcular les components del vector v en base cal escriure’l com a combinació lineal dels vectors de la base: v = (5 6 7 8) = (1 1 0 0) +(0 1 1 0) + (0 0 1 1) + (0 0 0 1) ? Per això cal resoldre el sistema següent: ⎫ =5 ⎪ ⎪ ⎬ +=6 +=7 ⎪ ⎪ ⎭ +=8 = 6 − = 1 = 7 − = 6
Com que el sistema és molt senzill, es pot resoldre per substitució de dalt a baix, obtenint: = 5 =8− =2
Per tant les components del vector en base són: v = (5 1 6 2) (b) Les components d’u en base són els escalars ( ) que expressen aquest vector com a combinació lineal dels vectors de la base. Per tant: u = (1 2 3 4) = 1(1 1 0 0) + 2(0 1 1 0) + 3(0 0 1 1) + 4(0 0 0 1) = (1 3 5 7) És a dir, que les components de u en base canònica són: (1 3 5 7)
3. Classifiqueu (tipus i graus de llibertat) el sistema següent, segons el valor dels paràmetres i : ⎧ ⎨ ++ =1 − + 2 + = 1 ⎩ + + = (2’5 punts) ⎞ ⎞ 1 1 1 1 Esquemàticament el sistema és: ⎝ −1 2 1 ⎠ 1 ⎠ 1 1 ⎛
Si −1 6= 0 no hi ha cap fila de coeficients nul·la. Per tant el sistema és compatible (té solució). I hi ha tantes files com incògnites, per tant és determinat (una sola solució, 0 graus de llibertat) Resolució del sistema per substitució de baix a dalt : ⎫ ++ =1 ⎬ ⇒ = −1 ⇒ = 2 (1 − ) =...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.