Bayes

EJEMPLO 1 Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producidapor la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Solución: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La informacióndel problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) ·P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c.

Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con elvalor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A EJEMPLO 2 Tenemos tres urnas: A con 3 bolasrojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sidoextraída de la urna A? Solución: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cadauna de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

EJEMPLO 3 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros economistas. El 75% de losingenieros ocupan un puesto los econom istas tam bién, m ientras que los no ingenieros solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? y otro...