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Capítulo 6

Diseños en bloques Incompletos
aleatorizados
6.0.1.

Introducción

Cuando se construye un diseño en bloques aleatorizados, puede suceder que no
sea posible realizar todos los tratamientos en cada bloque. En estos casos es posible usar
diseños en bloques aleatorizados en los que cada tratamiento no está presente en cada
bloque. Estos diseño reciben el nombre de diseños enbloques incompletos. Hay varios
tipos de diseños en bloques incompletos, siendo uno de los más utilizados el diseño en
bloque incompletos balanceado (BIB), que estudiaremos a continuación.

6.0.2.

Planteamiento del modelo y análisis estadístico.
Los diseño en bloques incompletos balanceados (BIB) deben verificar:

Cada tratamiento ocurre el mismo número de veces en el diseño.
Cada par detratamientos ocurren juntos el mismo número de veces que cualquier
otro par.
Supongamos que se tienen I tratamientos de los cuales sólo se pueden experimentar
K (K < I) tratamientos en cada bloque. Se puede construir un diseño BIB tomando
I
I
K bloques de forma que a cada bloque se le asigne una de las K combinaciones de
tratamientos posibles. En algunas ocasiones es posible reducir elnúmero de bloques necesarios para formar el diseño. En el Apéndice B se muestran tablas de construcción de
diseños BIB para ciertos valores de los parámetros del diseño.
Los parámetros que caracterizan este modelo son los siguientes:
1

2

Diseños en bloques Incompletos aleatorizados

I, número de tratamientos o niveles del factor principal.
J, número de bloques
K, número de tratamientos porbloque.
R, número de veces que cada tratamiento se presenta en el diseño, es decir el número
de réplicas de un tratamiento dado.
λ, número de bloques en los que un par de tratamientos ocurren juntos.
N, número total de observaciones.
Estos parámetros deben verificar las siguientes relaciones:
i) N = IR = JK
ii) λ = R

K −1
I −1

iii) J ≥ I
Cuando J = I el diseño recibe el nombre desimétrico.
Al igual que en el diseño en bloques completos, la asignación de los tratamientos a las
unidades experimentales en cada bloque se debe realizar de forma aleatoria.
El modelo estadístico para este diseño es el mismo que para el diseño en bloques
aleatorizados completos, es decir
yij = µ + τ i + β j + uij .

(6.1)

En este diseño la variabilidad total SCT se descompone en
SCT =SCT r∗ + SCBl + SCR ,

(6.2)

donde
SCT r∗ es la suma de cuadrados de tratamientos ajustada, que tiene la siguiente
expresión
I

Ti2

K
SCT r∗ =

i=1

λI

,

(6.3)

Diseños en bloques Incompletos aleatorizados

3

siendo Ti el total ajustado por bloques del i-ésimo tratamiento, definido como

Ti = yi. −

1
K

J

i = 1, 2, · · · , I

nij y.j

(6.4)

j=1

connij =

1 si el tratamiento i ocurre en el bloque j
0 en otro caso

Notamos que
J

1
K

nij y.j ,
j=1

es el valor medio de los totales de los bloques que contienen al tratamiento i-ésimo.
Se verifica que
I

Ti = 0 ,
i=1

la suma de cuadrados ajustada de los tratamientos tiene, por tanto, I − 1 grados de
libertad.
Como en este diseño se realizan K de los I tratamientos encada bloque, la suma de
cuadrados correspondiente a los bloques tiene la siguiente expresión
J

SCBl =
j=1

y.j2
y2
− .. ,
K
N

(6.5)

con J − 1 grados de libertad.
SCT tiene la misma expresión que en el diseño en bloques completos aleatorizados,
es decir
I

J
2
yij
−

SCT =
i=1 j=1

y..2
,
N

con N − 1 grados de libertad.
SCR se calcula a partir de las otras sumasde cuadrados, es decir

(6.6)

4

Diseños en bloques Incompletos aleatorizados

SCR = SCT − SCT r∗ − SCBl
con N − I − J + 1 grados de libertad, que se obtienen como la diferencia entre los grados
de libertad de SCT y los grados de libertad de SCT r∗ y SCBl
(N − 1) − (I − 1) − (J − 1) = N − I − J + 1 .

En este modelo el estadístico de contraste para los tratamientos es
Fτ =

MCT...