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Teoría de Estática

CAPITULO 10: MOMENTO DE INERCIA Y PRODUCTO DE INERCIA

Momento de inercia
Definiremos como momentos de inercia de un punto material de masa m en relación a un
plano, a un eje o a un punto, es el producto de la masa del punto por el cuadrado de la distancia,
al plano, al eje o al punto, respectivamente.
Cuando el momento de inercia es relatico a un plano, se lodenomina momento de inercia
planar, cuando es relativo a un eje, se lo denomina momento de inercia axial cuando es relativo
a un punto se lo denomina momento de inercia polar.
El momento de inercia también es denominado momento de segundo orden, aunque en la
mecánica esta designación no es usual.
El momento de inercia siempre es positivo.
Método de integración para determinar momento de inerciade masa, superficie y línea
Consideremos un sólido de masa m, el producto de un elemento dm por el cuadrado de su
distancia a la referencia de interés, se denomina
momento de inercia del elemento dm.
dI =

dm

El momento de inercia de todo el cuerpo con
relación a la referencia es por definición.
∫
El momento de inercia con respecto al eje y es:
∫

∫(

)

Similarmente, para elMomento de inercia con respecto al eje x y al eje z tenemos:
∫(

)

∫(

)

Momento de inercia de una superficie plana es la
suma de los productos de los elementos dA de
superficie, por el cuadrado de las distancias a la
referencia de interés.
Tenemos los momentos de inercia de una superficie
respecto a los ejes x y eje y respectivamente son:
∫

∫

El momento de inercia polar delárea A respecto a O es:

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∫(

∫

)

∫

∫

El momento de inercia polar de un área dada puede calcularse a partir de los momentos de
inercia rectangulares e
del área, si ya se conocen estas integrales. En efecto, recordando
que
, se tiene
El momento de inercia de una línea o alambre será la suma de los productos de loselementos
dI por los cuadrados de sus distancias a la referencia de interés.
∫
Momento de inercia de cuerpos homogéneos
Si la densidad del cuerpo es constante, es decir si el cuerpo es homogéneo, dm = dV,
tendremos:
∫

∫

∫

Entonces basta con multiplicar el momento de inercia del volumen por la densidad, para
tener el momento de inercia de la masa del cuerpo homogeneo.
Determinar elmomento de inercia del area del circulo respecto a su diametro
Utilizando coordenadas polares y el eje x
coincidente con el diámetro

∫

∫∫

∫ ∫(

) (

[

)

]

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Método de subdivisión en partes finitas para la determinación de los momentos de inercia
de masas, volúmenes, superficies y líneas compuestas
Cuando el cuerpo no eshomogéneo puede en general ser descompuesto en partes
homogéneas, para las cuales podemos determinar el momento de inercia de su masa, volumen,
superficie o línea.
La condición es que la determinación de esos momentos de inercia sepamos calcular a
priorizar muchas veces es conveniente la división en volúmenes, superficies o líneas ficticias,
cuyos momentos de inercia deberán ser sustraídosdel total.
Las expresiones para determinar el momento de inercia de masas, volumenes, superficies y
lineas compuestas son respectivamente:
∑

∑

∑

∑

Radio de giro de masa, volúmenes, superficies y líneas
El radio de giro de una masa dado un sólido cualquiera de masa M y dado su momento de
inercia
en relación a una referencia cualquiera, definiremos como radio de giro k de la masarespecto al eje AAʼ de un cuerpo, a la relación:
√
Análogamente definiremos radio de giro de volúmenes, radio de giro de superficies y radio
de giro de líneas.

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Momento polar de inercia en términos de radio de giro
Considere una superficie plana de área
A cuyo momento de inercia respecto al eje
x sea . Imagínese que esta área se...