bernardoacevedofrias
Páginas: 23 (5750 palabras)
Publicado: 22 de octubre de 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MA NIZA LES
FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Bernardo
Acevedo
Profesor
Manizales,
Frías
Asociado
Junio 1994
I.S.B.N. 958-9322-16-6
Autor
Bernardo Acevedo Frías
Matemático
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales.
Revisado p o r
Profesor Femando Pío Betancourt López, Ing.Electricista
Profesor Ornar Evelio Ospina Arteaga, Matemático, Ms. Se
Impreso por:
Centro de Publicaciones
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Junio de 1994
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTRODUCCION
El presente texto ha sido elaborado para q u e sirva de apoyo didáctico en
el curso de matemáticas II q u e se dicta en la facultad d e Ciencias y
Administración en laUniversidad Nacional seccional Manizales.
En la primera parte se definen los diversos tipos d e Integrales Impropias,
sus criterios d e convergencia y en la s e g u n d a parte se tratan las funciones
Eulerianas G a m m a y Beta, con una b u e n a cantidad de ejemplos resueltos y
propuestos para q u e sirvan de a p o y o a c o m p r e n d e r y clarificarlos aspectos
teóricos.
B e r n a r d o A c ev e d o Frias
(profesor asociado)
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
1. INTEGRALES
IMPROPIAS
b
En
el
estudio
de
la
integral
definida
J f ( x ) dx
se
ha
a
sobrentendido,
1. Los
ahora
que :
límites de integración
2 . La f u n c i ó n
Si
hasta
son n ú m e r o s
f(x) es continua
f es d i s c o n t i n u a
e n el
debe ser acotada
finitos.
intervalo
en e s t e[a,b].
intervalo.
C u a n d o se e l i m i n a una de e s t a s dos c o n d i c i o n e s , se d i c e
la
integral
resultante
es una
integral
impropia;
en
que
otras
b
palabras,
Jf(x)dx;
la i n t e g r a l
se d i c e
impropia
si:
a
1 . a = -°° ó £ > = + <»; ó
2 . f(x) no es acotada
ambos.
en uno o m á s p u n t o s de
[a,b].
b
Cuando
en la i n t e g r a l
J f (x) dx-,
fcontinua;
a=-«>, ó b=+<»
a
ó
ambos;
impropias
a éste tipo
de primera
de integrales
se l l a m a r á n
integrales
especie.
b
Si
en
la
integral
Jf(x)
dx,
a
1
f ( x ) no es a c o t a d a
en
uno
o
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
más puntos de
[ a , b ] , s e d i c e q u e la i n t e g r a l
J £ ( x ) dx,
una integral impropia de segunda especie. Y si la integral f f(x)presenta
integral
las
dos
impropia
condiciones
de tercera
anteriores,
es
dx
se
llamará
x d x
'> son
especie.
Ejemplos.
oo
0
2
Jcosx dx
;
oo
oo
x
fsenxdx
¡ Je~ dx
;
f
-oo
integrales
Las
impropias de primera
,
integrales
integrales
-OO
10
r dx
/
J-1 x
especie.
10
;
r
dx —/ —
——
J-5 (x-1) (x-5)
impropias de segunda
16
r dx
J x-1
;
/
son
especie.
oo
Y
lasintegrales
integrales
f
;
J-1 X
f
Jo
^
(X-1)
impropias de tercera
S e h a r á un e s t u d i o d e t a l l a d o
(x-2)
;
f
J
;
y ^ T
especie.
de cada una de
ellas
Son
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
1.1
Sea
INTEGRALES
f (x)
[a,b].
IMPROPIAS
acotada
e
DE P R I M E R A
integrable
en
un
ESPECIE.
intervalo
cerrado
Se defi ne :
00
b
ffix) dx = limffix)
aa
dx
00
La i n t e g r a l
f fix)
dx
J
s e d i c e c o n v e r g e n t e si l i m / fix)
dx
¿>„00 Ja
00
existe;
en
caso
contrario
la
integral
Jfix)dx
se
d
i c e
di v e r g e n t e .
b
Cuando
limi f (x) dx = AG®.
; se
dice
q u e el
0
b-*°a
00
integral
f f (x) dx
En f o r m a
análoga
b
=
A
se d e f i n e
la
integral
b
f fix) dx = lim í fix) dx,
valor
de
la BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejemplo
1.
oo
Mostrar
que J e
X
d x
es c o n v e r g e n t e
y hallar
su
valor,
o
Solución.
oo
x
= lim fe Xdx =- lim-e
fexdx
J
lim (l-e"b)
=
1
¿>-00 ~
00
Luego
la i n t e g r a l
Je
X
d x
c o n v e r g e y su v a l o r
es
1.
o
Ejemplo
2.
00
M o s t r a r q u e la i n t e g r a l
f —
l
e
x
s
convergente y hallar
e...
SEDE MA NIZA LES
FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Bernardo
Acevedo
Profesor
Manizales,
Frías
Asociado
Junio 1994
I.S.B.N. 958-9322-16-6
Autor
Bernardo Acevedo Frías
Matemático
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales.
Revisado p o r
Profesor Femando Pío Betancourt López, Ing.Electricista
Profesor Ornar Evelio Ospina Arteaga, Matemático, Ms. Se
Impreso por:
Centro de Publicaciones
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Junio de 1994
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTRODUCCION
El presente texto ha sido elaborado para q u e sirva de apoyo didáctico en
el curso de matemáticas II q u e se dicta en la facultad d e Ciencias y
Administración en laUniversidad Nacional seccional Manizales.
En la primera parte se definen los diversos tipos d e Integrales Impropias,
sus criterios d e convergencia y en la s e g u n d a parte se tratan las funciones
Eulerianas G a m m a y Beta, con una b u e n a cantidad de ejemplos resueltos y
propuestos para q u e sirvan de a p o y o a c o m p r e n d e r y clarificarlos aspectos
teóricos.
B e r n a r d o A c ev e d o Frias
(profesor asociado)
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
1. INTEGRALES
IMPROPIAS
b
En
el
estudio
de
la
integral
definida
J f ( x ) dx
se
ha
a
sobrentendido,
1. Los
ahora
que :
límites de integración
2 . La f u n c i ó n
Si
hasta
son n ú m e r o s
f(x) es continua
f es d i s c o n t i n u a
e n el
debe ser acotada
finitos.
intervalo
en e s t e[a,b].
intervalo.
C u a n d o se e l i m i n a una de e s t a s dos c o n d i c i o n e s , se d i c e
la
integral
resultante
es una
integral
impropia;
en
que
otras
b
palabras,
Jf(x)dx;
la i n t e g r a l
se d i c e
impropia
si:
a
1 . a = -°° ó £ > = + <»; ó
2 . f(x) no es acotada
ambos.
en uno o m á s p u n t o s de
[a,b].
b
Cuando
en la i n t e g r a l
J f (x) dx-,
fcontinua;
a=-«>, ó b=+<»
a
ó
ambos;
impropias
a éste tipo
de primera
de integrales
se l l a m a r á n
integrales
especie.
b
Si
en
la
integral
Jf(x)
dx,
a
1
f ( x ) no es a c o t a d a
en
uno
o
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
más puntos de
[ a , b ] , s e d i c e q u e la i n t e g r a l
J £ ( x ) dx,
una integral impropia de segunda especie. Y si la integral f f(x)presenta
integral
las
dos
impropia
condiciones
de tercera
anteriores,
es
dx
se
llamará
x d x
'> son
especie.
Ejemplos.
oo
0
2
Jcosx dx
;
oo
oo
x
fsenxdx
¡ Je~ dx
;
f
-oo
integrales
Las
impropias de primera
,
integrales
integrales
-OO
10
r dx
/
J-1 x
especie.
10
;
r
dx —/ —
——
J-5 (x-1) (x-5)
impropias de segunda
16
r dx
J x-1
;
/
son
especie.
oo
Y
lasintegrales
integrales
f
;
J-1 X
f
Jo
^
(X-1)
impropias de tercera
S e h a r á un e s t u d i o d e t a l l a d o
(x-2)
;
f
J
;
y ^ T
especie.
de cada una de
ellas
Son
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
1.1
Sea
INTEGRALES
f (x)
[a,b].
IMPROPIAS
acotada
e
DE P R I M E R A
integrable
en
un
ESPECIE.
intervalo
cerrado
Se defi ne :
00
b
ffix) dx = limffix)
aa
dx
00
La i n t e g r a l
f fix)
dx
J
s e d i c e c o n v e r g e n t e si l i m / fix)
dx
¿>„00 Ja
00
existe;
en
caso
contrario
la
integral
Jfix)dx
se
d
i c e
di v e r g e n t e .
b
Cuando
limi f (x) dx = AG®.
; se
dice
q u e el
0
b-*°a
00
integral
f f (x) dx
En f o r m a
análoga
b
=
A
se d e f i n e
la
integral
b
f fix) dx = lim í fix) dx,
valor
de
la BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejemplo
1.
oo
Mostrar
que J e
X
d x
es c o n v e r g e n t e
y hallar
su
valor,
o
Solución.
oo
x
= lim fe Xdx =- lim-e
fexdx
J
lim (l-e"b)
=
1
¿>-00 ~
00
Luego
la i n t e g r a l
Je
X
d x
c o n v e r g e y su v a l o r
es
1.
o
Ejemplo
2.
00
M o s t r a r q u e la i n t e g r a l
f —
l
e
x
s
convergente y hallar
e...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.