Bernoulli Y Su Amante Newton
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
E: y 0 C y D xy 2
D: H En esta ED r D 2. Multiplicamos la ED por y
y
2
.y 0 Cy/ D .xy 2 /y
2
r
2
Dy
2
)y
:
1
y0 C y
(1)
D x:
Hacemos ahora el cambio de variable:
u D y1
r1
Dy
:
Calculamos la derivada:
u0 D
d
y
dx
1
2
y
D
y0 ) y
2
y 0 D u0
y sustituimos en (1):y
2
1
y0 Cy
u0 C u D x ) u0
Dx )
uD
(2)
x:
Resolvemos la ED lineal (2), que tiene por factorintegrante:
.x/ D e
R
p.x/dx
De
R
dx
x
De
:
Multiplicamos (2) por .x/:
x
e
Œu 0
x
u D x e
) Œex
u 0 D
xe
x
:
Integramos ahora ambos miembros de la última ecuación con respecto a x :
x
e
uD
xe
xdx:
Calculamos la integral del miembro derecho por el método de Integración por Partes:
uD
x;
du D
x
dv D e dx; v DTenemos:
e
dx;
e x:
x
u D xe
De lo anterior:
x
Ce
xe
x
x
dx D x e
CC De
x
x
C
e
xdx D x e
.x C 1/ C C:
u D x C 1 C C ex :
Por lo tanto, sustituyendo u por y
y
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
)1
1
, se obtiene la solución general de la ED:
D x C 1 C C ex ) y D
1
:
x C 1 C C ex
x
e
x
:
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