Bernoulli

Apuntes de Historia de las Matemáticas

No. 1, Vol. 2, ENER0 2003

APORTACIONES DE LOS BERNOULLI AL CÁLCULO
Oscar Mario Rodríguez Sánchez

INTRODUCCIÓN
A causa de una violenta persecución de protestantes en Amberes, mucha gente buscó
refugio en otras partes. Uno de los refugiados fue Jacques Bernoulli, quien encontró asilo
en Francfort, en 1583. En 1622, su hijo mayor se instaló enBasilea; lo mismo hizo otro de
sus hijos, Nicolaus (1623-1708), quien procreó a Jacques I (1654-1705), Nicolaus I (16621716) y Jean I (1667-1748), los primeros matemáticos de la familia. El ordinal romano se
les agrega para distinguirlos de sus homónimos de las generaciones posteriores.
La notable familia suiza Bernoulli realizó grandes aportaciones a las matemáticas y a las
ciencias. En tresgeneraciones produjo no menos de nueve miembros de la familia que
lograron preeminencia en matemáticas o en física (cuatro de ellos recibieron distinciones de
la Academia de Ciencias de París), los que a su vez produjeron un enjambre de
descendientes que dejaron huella en muchos campos del conocimiento.

JACQUES I
Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 y murió el 16 de agosto de1705; fue el
quinto hijo de una gran familia. También se le encuentra como Jacob, por la traducción de
su nombre al alemán, y como James, por su traducción al inglés. Estudió teología; pero la
abandonó en favor de las ciencias. De manera autodidacta aprendió el nuevo cálculo de
Newton y Leibniz y fue profesor de matemáticas en Basilea desde 1687 hasta su muerte.
Escribió sobre series infinitas,estudió muchas curvas especiales, inventó las coordenadas
polares y presentó los números de Bernoulli que aparecen en la expansión en serie de
potencias de la función tan(x) y que son útiles para escribir el desarrollo en series infinitas
de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.
En su libro Ars Conjectandi, publicado en 1713 y que se considera como el primer volumen
substancial en lateoría de probabilidad, formuló el principio básico de teoría de
probabilidad que se conoce como Teorema de Bernoulli o Ley de los grandes números: si la
probabilidad de algún evento dado es p y si se han hecho n intentos independientes con k
éxitos, entonces k / n p conforme n
.
Este teorema fue el primer intento para deducir medidas estadísticas a partir de
probabilidades individuales yBernoulli tardó veinte años en perfeccionarlo. Para poder dar
una idea de la importancia del resultado de Bernoulli y los problemas que lo rodean, habría
que extenderse y exponer varios puntos.
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En 1690 sugirió el nombre “integral” a Leibniz y puntualizó que en un punto máximo o
mínimo la derivada de la función no tieneque anularse; sino que puede tomar un “valor
infinito” o asumir una forma indeterminada.
En su primer artículo sobre series infinitas, en 1689, presentó la “desigualdad de
Bernoulli”:
(1 + x)n > 1 + nx
aunque ésta puede encontrarse antes en la séptima lectura de Lectiones geometriae de
Barrow, de 1670.
En base a la correspondencia frecuente con matemáticos de la época, sabía de losproblemas populares, muchos de los cuales resolvió independientemente. Así, encontró las
ecuaciones y propiedades de la catenaria (formada al colgar libremente por sus extremos
una cadena pesada), la tractriz y la isocrona, que habían sido tratadas por Huygens y
Leibniz. La isocrona es una curva plana a lo largo de la cual un objeto caería con velocidad
vertical uniforme; mostró que la curvarequerida es la parábola semicúbica. Por otra parte,
la tractriz es la curva descrita por un objeto que inicia en la parte positiva del eje de las
ordenadas y es “jalado” desde la parte positiva del eje de las abscisas con una lanzadera
rígida de longitud fija. Jacques también encontró propiedades de las figuras isoperimétricas,
por ejemplo, las que encierran el área mayor en un perímetro dado.
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