Beumont

Espacios Vectoriales



En varias partes de la matemática se presentan conjuntos donde tiene sentido y resulta interesante considerar combinaciones lineales de los elementos de dichos conjuntos. Por ejemplo, en los sistemas de ecuaciones lineales, se encontró natural el considerar combinaciones lineales de las filas de una matriz.

El álgebra lineal es aquella rama de las matemáticas quetrata las propiedades comunes de los sistemas algebraicos, que constan de un conjunto más una noción de combinación lineal de los elementos del conjunto.



Definición. Un espacio vectorial (o espacio lineal) consta de los siguientes:

1. Un campo K de escalares;




2. Un conjunto V de objetos llamados vectores;




3. Una operación llamada suma que asocia a cada par devectores α, β de V un vector α+β de V que se llama suma de α y β, de tal modo que:

a) La suma es conmutativa: α+β = β+α;

b) La suma es asociativa α+(β+γ) = (α+β)+γ ;

c) Existe un único vector 0 de V, llamado vector nulo, tal que α+0 = α;

d) Para cada vector α de V, existe un único –α de V, tal que α+(-α) = 0;




4. Una operación llamada multiplicación escalar,que asocia a cada escalar c del campo K y cada vector α de V a un vector cα de V, llamado producto de c y α de modo que:

a) 1α= α para todo α de V;

b) (c1c2)α = c1(c2α);

c) c(α+β) = cα+cβ;

d) (c1+c2)α = c1α+c2α.

Es importante observar, como la definición lo establece, que un espacio vectorial es un objeto compuesto que consta de un campo, de un conjunto devectores y de dos operaciones con ciertas propiedades. Cuando no hay posibilidad de confusión, se hará referencia simplemente al espacio vectorial V y cuando se desee especificar el campo se dirá que V es un espacio vectorial sobre el campo K.

Definición. Un vector β de V se dice que es combinación lineal de los vectores α1,…,αn en V si existen escalares c1,…,cn en K tales que:

[pic]



Sea Vun espacio vectorial y W un subconjunto de V. Supóngase que W satisface las siguientes condiciones:

1. Si v y w son elementos de W, su suma v+w también es un elemento de W;
2. Si v es un elemento de W y c es un escalar del campo K, entonces cv es un elemento de W;
3. El vector nulo 0 es también elemento de W.
Entonces el propio W es un espacio vectorial. En realidad, al satisfacerpropiedades 1, 2, 3a) – 3d) y 4a) – 4d) todos los elementos de V, se satisfacen también para todos los elementos de W. Se dirá que W es un subespacio de V.
Ejemplo 1. Sea V un espacio vectorial arbitrario y sean α1,…,αn elementos de V. Sean c1,…,cn en K tales que se forman combinaciones lineales:
[pic]
El conjunto de todas las combinaciones lineales [pic] de V es un subespacio de V.
Estesubespacio W de todas las combinaciones lineales α1,…,αn de V se conoce como el subespacio generado por α1,…,αn. Si W = V, es decir, si todo elemento de V es una combinación lineal de α1,…,αn, entonces decimos que α1,…,αn genera a V.
Ejemplo 2. Sea ( un vector de V = [pic]. Sea W el conjunto de todos los ( tales que [pic], es decir, los vectores ( que son perpendiculares a (. Se concluye que W es unsubespacio de V.
Ejemplo 3. Sea V espacio vectorial y U y W subespacios de V. Se denotará por U(W a la intersección U y W, es decir el conjunto de elementos que pertenecen tanto a U como a W. Se concluye que U(W es subespacio vectorial de V.
Ejemplo 4. Sea V espacio vectorial y U y W subespacios de V. Se denotará por U+W al conjunto de todos los elementos u+w donde u(U y w(W. Se concluye que U+Wes subespacio vectorial de V.
Definición. Sea V un espacio vectorial sobre K. Un subconjunto S de V se dice linealmente dependiente si existen vectores distintos [pic] de S y escalares [pic] de K, no todos nulos, tales que

[pic]

Un conjunto que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente.

A partir de la definición de dependencia lineal, se observa lo siguiente...