Bhgyfc
Páginas: 17 (4011 palabras)
Publicado: 22 de enero de 2013
lA"ntidades trigonométricas S]
1.1. Razones trigonométricas
de la suma de dos ángulos
Seno de la suma de dos ángulos
En la figura 4.1, el ángulo cr de los triángulos OAB y CDB tiene el mismo
valor, ya que los lados que 1o determinan en un triángulo son perpendiculares a
los del otro.
En el triángulo OEC, sen
Como ED
:
EC
(c + B) :
-ED+DC
OC
AB, tenemos que sen (ct+ 9)
: AB+DC
Errores comunes
En el triángulo CDB, cos cr
En el triángulo OAB, sen
:
0., tanto, DC: BC
ff,
o: *,
l)Íi
que AB
oo.lo
:
Las razones trigonométricas de la
suma de dos ángulos, a y B, no equivalen a la suma de las razones trigonométricas de los ángulos cr y B. Es decir:
cos cr.
OB sen
ct.
I sen (ct + B) * sen ct*sen B
Icos(o+B)*cosct*cosp
r tg(ct+p)+tgcr+tgB
Sustituyendo:
OB sen a -| BC cos
oc
J!rr\qT^j/-
-
En el triángulo OBC, cos
sen (ct
*
:
OB sen
-
o(
OB sen :
v
B
B:
B)
cr
Oa
sen
c .cos
B
aT
BC cos
ct
M
Por ejemplo:
-
sen
BC
ñ.O"
+ sen B .cos
este modo:
75.:
1
\,5,ft v5
22224
45'
Coseno de la suma de dos ángulost/i
*
B las relaciones que existen entre las razones
trigonométricas de ángulos que difieren 90' ({igura 4.7), se puede escribir:
cos
sen (90" +c*+ B) : sen [(90' +ct) + B]
sen (90" * ct) 'cos B * sen B'cos (90" f ct)
(ctf
:
cr.
B)
vDtfo
Mientras que:
cr
sen
Aplicando al ángulo
+ a5o):
sen (30.
:
I
30': \'5T - 22
I
sen
+t
2
:
Portanto:
sen 75"
*
sen
45'*
sen 30"
Aplicando sen (90" + ct') : cos cr. y cos (90' + cv) : -sen ct, se obtiene:
cos (ct + B) : cos c¿'cos B f sen p'(-sen c¿)
Cabe concluir, pues, que la expresión para el coseno de la suma de dos
ángulos
es:
cos (a
* 9):
cos
ct'cos
P
-
sen
ct'sen
B
Tangente de la suma de dos ángulos
Aplicando la relación tg cr:tg (ct + F)
sen
o
cos
c{.
: tt" i" * 9) cos (ct + p)
al ángulo (o
+ F), se obtiene:
ct'cos I f sen F'cos ct
cos ct'cos p - sen ct'sen p
sen
o
Dividiendo todos los términos por cos ct'cos B, resulta:
toct+toB
IOlrlTtll:1
-
tg ct'tg
B
FTGURA
@ +.
I
'toono'netr
o
t,
4.2.
X
1.2. Razones trigonométricas
de la diferencia de dosángulos
Reeuerda
Seno de la diferencia de dos ángulos
Utilizando la expresión obtenida para el seno de la suma:
La figura 4.3 muestra dos án-
sen (cr
gulos opuestos.
Las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos
opuestos son:
ct:
S
sen
ffi
cos ct
X
tg
:
-sen (-cr)
cos (-c¿)
cr: -tg (-ct)
+ B) :
y sustituyendo el ángulo B po.
sen [crse
sen ct .cos B
-
*
cos cr .sen B
obriene:
sen ct.cos
f (-P)l :
se
(-B) t
(
B),
cos cr.sen
(-B)
Empleando las relaciones entre las razones del ángulo opuesro (íigura 4.3)
obtiene la expresión siguiente:
sen [cr
* (-P)] :
sen
,
o.cos B f cos cr.(-sen F)
de donde:
sen (cr
- B): sen a.cos B - cos a.sen B
Coseno de la diferenc¡a de dosángulos
A partir
de la expresión obtenida para el coseno de la suma:
+ P) : cos cr.cos
y sustituyendo B por (-F), r" obtiene:
cos (cr
B
-
sen ct'sen B
B)] : cos ct ' cos (- B) - sen ., ' sen (- p)
Aplicando las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos
opuestos, cabe concluir que:
i (-
cos [ct
cos (ct
-
F)
:
cos
ct'cos B -i- sen a'senB
Tangente de la diferenc¡a de dos ángulos
Del mismo modo que en el caso de la tangente de la suma de dos ángulos,
se puede
demostrar que;
t90-tgB
tq(o_B) _
1*tgo.tgB
lJctividades
E H-fi
Calcula las razonestrigonométricas de un ángulo de 15', conociendo las
de uno de 45'y las de otro de 30'.
sotución: sen
E fTl
que sen 0
is': (\C-
Sabiendo que cos
:
3...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.