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Páginas: 17 (4011 palabras) Publicado: 22 de enero de 2013
I

lA"ntidades trigonométricas S]

1.1. Razones trigonométricas
de la suma de dos ángulos
Seno de la suma de dos ángulos
En la figura 4.1, el ángulo cr de los triángulos OAB y CDB tiene el mismo
valor, ya que los lados que 1o determinan en un triángulo son perpendiculares a
los del otro.
En el triángulo OEC, sen

Como ED

:

EC

(c + B) :

-ED+DC
OC

AB, tenemos que sen (ct+ 9)

: AB+DC
Errores comunes

En el triángulo CDB, cos cr

En el triángulo OAB, sen

:

0., tanto, DC: BC

ff,

o: *,
l)Íi

que AB

oo.lo

:

Las razones trigonométricas de la
suma de dos ángulos, a y B, no equivalen a la suma de las razones trigonométricas de los ángulos cr y B. Es decir:

cos cr.

OB sen

ct.

I sen (ct + B) * sen ct*sen B
Icos(o+B)*cosct*cosp
r tg(ct+p)+tgcr+tgB

Sustituyendo:

OB sen a -| BC cos

oc

J!rr\qT^j/-

-

En el triángulo OBC, cos

sen (ct

*

:

OB sen

-

o(

OB sen :
v
B

B:

B)

cr

Oa

sen

c .cos

B

aT

BC cos

ct

M

Por ejemplo:

-

sen

BC

ñ.O"

+ sen B .cos

este modo:

75.:

1

\,5,ft v5

22224
45'

Coseno de la suma de dos ángulost/i

*

B las relaciones que existen entre las razones
trigonométricas de ángulos que difieren 90' ({igura 4.7), se puede escribir:
cos

sen (90" +c*+ B) : sen [(90' +ct) + B]
sen (90" * ct) 'cos B * sen B'cos (90" f ct)

(ctf

:

cr.

B)

vDtfo

Mientras que:

cr

sen

Aplicando al ángulo

+ a5o):

sen (30.

:

I

30': \'5T - 22
I

sen

+t
2

:

Portanto:

sen 75"

*

sen

45'*

sen 30"

Aplicando sen (90" + ct') : cos cr. y cos (90' + cv) : -sen ct, se obtiene:
cos (ct + B) : cos c¿'cos B f sen p'(-sen c¿)
Cabe concluir, pues, que la expresión para el coseno de la suma de dos
ángulos

es:

cos (a

* 9):

cos

ct'cos

P

-

sen

ct'sen

B

Tangente de la suma de dos ángulos
Aplicando la relación tg cr:tg (ct + F)

sen

o

cos

c{.

: tt" i" * 9) cos (ct + p)

al ángulo (o

+ F), se obtiene:

ct'cos I f sen F'cos ct
cos ct'cos p - sen ct'sen p
sen

o

Dividiendo todos los términos por cos ct'cos B, resulta:

toct+toB

IOlrlTtll:1

-

tg ct'tg

B
FTGURA

@ +.
I

'toono'netr

o

t,

4.2.

X

1.2. Razones trigonométricas
de la diferencia de dosángulos
Reeuerda

Seno de la diferencia de dos ángulos
Utilizando la expresión obtenida para el seno de la suma:

La figura 4.3 muestra dos án-

sen (cr

gulos opuestos.
Las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos
opuestos son:

ct:

S

sen

ffi

cos ct

X

tg

:

-sen (-cr)
cos (-c¿)

cr: -tg (-ct)

+ B) :

y sustituyendo el ángulo B po.
sen [crse

sen ct .cos B

-

*

cos cr .sen B

obriene:

sen ct.cos

f (-P)l :

se

(-B) t

(

B),

cos cr.sen

(-B)

Empleando las relaciones entre las razones del ángulo opuesro (íigura 4.3)
obtiene la expresión siguiente:
sen [cr

* (-P)] :

sen

,

o.cos B f cos cr.(-sen F)

de donde:
sen (cr

- B): sen a.cos B - cos a.sen B

Coseno de la diferenc¡a de dosángulos

A partir

de la expresión obtenida para el coseno de la suma:

+ P) : cos cr.cos
y sustituyendo B por (-F), r" obtiene:
cos (cr

B

-

sen ct'sen B

B)] : cos ct ' cos (- B) - sen ., ' sen (- p)
Aplicando las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos
opuestos, cabe concluir que:

i (-

cos [ct

cos (ct

-

F)

:

cos

ct'cos B -i- sen a'senB

Tangente de la diferenc¡a de dos ángulos
Del mismo modo que en el caso de la tangente de la suma de dos ángulos,
se puede

demostrar que;

t90-tgB
tq(o_B) _

1*tgo.tgB

lJctividades
E H-fi

Calcula las razonestrigonométricas de un ángulo de 15', conociendo las
de uno de 45'y las de otro de 30'.
sotución: sen

E fTl
que sen 0

is': (\C-

Sabiendo que cos

:

3...
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