Bhhkjn

Tarea N° 3.-
1) Calcula el límite usando Regla de L’Hopital.-
a) limx→0e3x2-1sen2x = limx→0 e3x2*6x2senx*cosx= limx→0e3x2*36x2+e3x2*62cos2x-2sen2x = e3o*360+e3o*62(1)2-2(0) = 62= 3
b) lím
= lim x→0 11-4x2*2-2*11-x23x2= lim x→0 -2*121-4x2*-8x (1-4x2)2+2*121-x2*-2x(1-x2)26x
= lim x→0 8x1-4x2 1-4x2-2x1-x21-x26x
= lim x→0 8x1-4x2(1-4x2)-2x1-x2(1-x2)6xlim x→0 81-4x2(1-4x2)-8x*-8x*121-4x2* -8x[1-4x2(1-4x2)]2-21-x21-x2-(-2x)*(-2x)121-x2*-2x[1-x21-x2]26

lim x→0 8-32x2(81-4x2)- 256x31-4x2(1-4x2)3-2-2x221-x2+4x31-x2(1-x2)36
(8-0) 8-01(1-0)3-(2-0 )2+01(1-0)36=88-01-22+016=641-416=606= 10

2) a) Encuentra el cuadrilátero que puedas inscribir en una semi-circunferencia de diámetro diez en que su área sea máxima.

x22+y2=16y2=16-x24
y=16-x24
y=64-x24
y=64-x22
A=xy
Ax=x∙64-x22= x64-x22
A'x=x64-x22
A'x= x64-x2'∙2-x64-x2∙2'22
A'x=x'∙64-x2+x∙64-x2'2=64-x2-x264-x22
A'x=64-2x264-x22= 64-2x2264-x2= 232-x2264-x2=32-x264-x2
Igualando la primera derivada a cero
32-x264-x2=0 ⇒32-x2=0⇒32=x2⇒32=x⇒42=x
x=42

Reemplazando en la fórmula inicial:
x22+y2=16
4222+y2=16
y2=16-8
y=8
y=22

El largo debe medir: 42
Elancho debe medir: 22

b) Un campo rectangular tiene área de 2700 m., será cercado, se empleará una cerca adicional para dividir el campo por la mitad. Si el costo de la cerca central es de $ 2.- por metro lineal y la cerca a lo largo de los lados es de $ 3.- por metro lineal. Encontrar las dimensiones del campo que hagan que el costo de la cerca sea mínimo.3x
3y | 2y 3y |
3x

Xy= 2700 m2
Y= 2700x
C(x,y) = 3x + 3x + 3y + 3y + 2y
C(x,y) = 6x + 8y
C(x) = 6x +8( 2700x)6x + ( 21600x) = 6x2+21600x
C(x) = 6x2+21600x
C’(x) = 12x+0 . x - 6x2+ 21600 . 1 x2
C’(x) = 12x2 - 6x2-21600x2
C’(x) = 6x2-21600x2 x≠06x2 – 21600 = 0
6x2 = 21600
X2 = 3600
X= ± 60
X=60
Y=45
Ahora reemplazamos:
R:
* Largo: 180 metros
* Ancho: 135 metros
* La arca adicional: 90 metros.
c) Encontrar el área del mayor rectángulo que se puede inscribir en un triángulo rectángulo de lados 5, 12 y 13 cms. respectivamente, si un lado del rectángulo está sobre el lado mayor.A=x∙y
Los triángulos ABC y DBE son semejantes, por lo tanto podemos decir:
EDAC=BDAB⇔y5=12-x12
y=5(12-x)12
Dejando todo en términos de “x” y derivando:
A(x)=x∙512-x12
A(x)=60x-5x212
A'x=60x-5x2'∙12-60x-5x2∙12'122
A'x=-10x+6012
A'x=2(-5x+30)12
A'x=-5x+306

Igualando a cero la derivada:
-5x+306=0
-5x+30=0
30=5x
305=x
6=x
Reemplazando el valor de “x”:

y=512-x12y=5∙12-612
y=3012
y=52
Encontrando el área del rectángulo:
A=x∙y
A=6∙52
A=15

El área del rectángulo es 15cm2

d) Una carretera recta de 100 Kms. Une a dos grandes ciudades industriales. De cada ciudad se difunde smog en una gran área circundante. Suponga que la intensidad “I “de smog varía inversamente con el cuadrado de la distancia de la fuente. (I = k es constante). Suponga que el smog dela ciudad A es 8 veces más intenso que en la ciudad B, es decir, con selección apropiada de unidades K = 8 y 1 para las ciudades A y B respectivamente. ¿En qué punto de la carretera es mínima la molestia ocasionada por el smog, suponiendo que la intensidad en un punto dado es la suma de las intensidades debidas a las dos fuentes?

IA=8x2
IB=1100-x2
IT=IA+IB
Ix=8x2+1(100-x)2I'x=-8∙2xx4-2100-x∙-1(100-x)4
I'x=-16x3+2(100-x)3
I'x=-28x3+1(100-x)3
I'x=0
8x3=1(100-x)3
(100-x)3x3=18/ ∛
200-2x=x
x=2003
I''x=48x4-6(100-x)4
Reemplazando x=2003en la segunda derivada nos da positivo.
R: La mínima molestia ocasionada por el smog es a los 66,67 kms. de la ciudad A.
3) Encuentra los extremos...