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Árbol AVL

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Árbol AVL
Árbol AVL es un tipo especial de árbol binario ideado por los matemáticos rusos Adelson-Velskii y Landis. Fue el primer árbol de búsqueda binario auto-balanceable que se ideó.

Descripción
El árbol AVL toma su nombre de las iniciales de los apellidos de sus inventores, Adelson-Velskii y Landis. Lo dieron a conocer en la publicación de un artículo en 1962: "An algorithm forthe organization of information" ("Un algoritmo para la organización de la información"). Los árboles AVL están siempre equilibrados de tal modo que para todos los nodos, la altura de la rama izquierda no difiere en más de una unidad de la altura de la rama derecha o viceversa. Gracias a esta forma de equilibrio (o balanceo), la complejidad de una búsqueda en uno de estos árboles se mantienesiempre en orden de complejidad O(log n). El factor de equilibrio puede ser almacenado directamente en cada nodo o ser computado a partir de las alturas de los subárboles. Para conseguir esta propiedad de equilibrio, la inserción y el borrado de los nodos se ha de realizar de una forma especial. Si al realizar una operación de inserción o borrado se rompe la condición de equilibrio, hay que realizaruna serie de rotaciones de los nodos. Los árboles AVL más profundos son los árboles de Fibonacci.
Un ejemplo de árbol binario equilibrado (si es AVL)

Un ejemplo de árbol binario no equilibrado (no es AVL)

Definición formal
Definición de la altura de un árbol Sea • • un árbol binario de búsqueda y sean si el árbol contiene solo la raíz si contiene más nodos y sus subárboles, su altura , es:Árbol AVL

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Definición de árbol AVL
• Un árbol vacío es un árbol AVL • Si • • • es un árbol no vacío y es AVL es AVL y sus subárboles, entonces es AVL si y solo si:

Factor de equilibrio
Cada nodo, además de la información que se pretende almacenar, debe tener los dos punteros a los árboles derecho e izquierdo, igual que los árboles binarios de búsqueda (ABB), y además el dato que controla el factorde equilibrio. El factor de equilibrio es la diferencia entre las alturas del árbol derecho y el izquierdo: FE = altura subárbol derecho - altura subárbol izquierdo; Por definición, para un árbol AVL, este valor debe ser -1, 0 ó 1. Si el factor de equilibrio de un nodo es: 0 -> el nodo está equilibrado y sus subárboles tienen exactamente la misma altura. 1 -> el nodo está desequilibrado y susubárbol derecho es un nivel más alto. -1 -> el nodo está desequilibrado y su subárbol izquierdo es un nivel más alto. Si el factor de equilibrio es necesario reequilibrar.

Operaciones
Las operaciones básicas de un árbol AVL implican generalmente el realizar los mismos algoritmos que serían realizados en un árbol binario de búsqueda desequilibrado, pero precedido o seguido por una o más de las llamadas"rotaciones AVL".

Rotaciones
El reequilibrado se produce de abajo hacia arriba sobre los nodos en los que se produce el desequilibrio. Pueden darse dos casos: rotación simple o rotación doble; a su vez ambos casos pueden ser hacia la derecha o hacia la izquierda. ROTACIÓN SIMPLE A LA DERECHA. De un árbol de raíz (r) y de hijos izquierdo (i) y derecho (d), lo que haremos será formar un nuevoárbol cuya raíz sea la raíz del hijo izquierdo, como hijo izquierdo colocamos el hijo izquierdo de i (nuestro i’) y como hijo derecho construimos un nuevo árbol que tendrá como raíz, la raíz del árbol (r), el hijo derecho de i (d’) será el hijo izquierdo y el hijo derecho será el hijo derecho del árbol (d).

Árbol AVL

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op rotDer: AVL{X} -> [AVL{X}] . eq rotDer(arbolBin(R1, arbolBin(R2, I2, D2),D1)) == arbolBin(R2, I2, arbolBin(R1, D2, D)) . ROTACIÓN SIMPLE A LA IZQUIERDA. De un árbol de raíz (r) y de hijos izquierdo (i) y derecho (d), consiste en formar un nuevo árbol cuya raíz sea la raíz del hijo derecho, como hijo derecho colocamos el hijo derecho de d (nuestro d’) y como hijo izquierdo construimos un nuevo árbol que tendrá como raíz la raíz del árbol (r), el hijo izquierdo de d...