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UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matem´ticas a

APUNTES DE CLASE ´ PRIMER CURSO DEL GRADO EN MATEMATICAS CURSO 2010 – 2011

GEOMETR´ AF´ Y EUCL´ IA IN IDEA

Alberto del Valle Robles (basados en apuntes previos de Jos´ Asensio y Jos´ R. Caruncho) e e

´ Indice general
1. Espacios afines y variedades afines 1.1. Espacios afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1.1.1. Definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.1.2. Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Sistemas de referencia y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Rectas; puntos alineados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Puntos medios y raz´n simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.1.6.PROBLEMAS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Definici´n y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.2. Paralelismo de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Intersecci´n y “cruce” de variedades; variedades complementarias o 1.2.4. Variedad generada porun conjunto; suma de variedades . . . . . 1.2.5. Posici´n relativa de variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones de variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Ecuaciones param´tricas y ecuaciones impl´ e ıcitas . . . . . . . . . 1.3.2. Direcci´n de una variedad y ecuaciones devariedades paralelas . o 1.3.3. Paso de ecuaciones impl´ ıcitas a param´tricas y viceversa . . . . . e 1.3.4. Ecuaciones de intersecciones y sumas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Ejemplos en dimensiones bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. PROBLEMAS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Espacios (vectoriales y afines) eucl´ ıdeos 2.1. Espacios vectoriales eucl´ ıdeos:producto escalar . . . . . . . . 2.1.1. Motivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.2. Producto escalar y espacios vectoriales eucl´ ıdeos . . . 2.1.3. Normas, cosenos y ortogonalidad de dos vectores . . . 2.1.4. Ortogonalidad de subespacios; complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 5 6 8 9 10 16 16 18 19 20 22 25 26 26 28 28 3032 34 37 39 39 40 42 44

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´ INDICE GENERAL 2.1.5. Producto vectorial y producto mixto en R3 (informal) . . . . . . . . . . 2.1.6. PROBLEMAS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conjuntos ortogonales . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Conjuntos ortogonales y ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Proyecci´n ortogonal y mejor aproximaci´n (norma m´ o o ınima) . . . . . . 2.2.4. M´todo de Gram-Schmidt; existencia de bases ortogonales . . . . . . . . e 2.2.5. PROBLEMAS PROPUESTOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Espacios afines eucl´ ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Distancia entre puntos y variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Perpendicularidad de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Proyecci´n ortogonal. C´lculo de la distancia de punto a variedad . . . o a 2.3.4....