bienvenidos a bordo

2.7.1 Funciones proposicionales binarias. 

A un predicado puede ir unido más de un sujeto o término, como por ejemplo: 
"Platón fue alumno de Sócrates"


Este tipo de predicados expresa una relación entre los objetos o términos. Aquí vemos dos términos que son Platón y Sócrates; sin embargo en este caso los términos no ocupan el lugar del sujeto gramatical puesto que "Sócrates" hace partedel predicado gramatical. 

Cuando, como en el ejemplo, la relación se hace entre dos individuos, se le llama binaria o diática. Otras relaciones pueden establecerse entre tres o más individuos. Por ejemplo: "x está entre a y b". La proposición "Platón fue alumno de Sócrates", la cual se simboliza Aps o pAs es el resultado de una sustitución dentro de la función proposicional:
"x fue alumno dey"


esta función proposicional se simboliza Axy o xAy. 


Cuando se efectúa la sustitución es necesario conservar el orden en la escritura de acuerdo a que el término que entra a sustituir la variable ocupe el lugar de ésta. Por ejemplo, si en lugar de escribir Aps escribimos Asp, la proposición será.:
"Sócrates fue alumno de Platón"



Cuando se tiene una función proposicional en dosvariables, es posible convertirla en una proposición sustituyendo cada una de las variables por un término especifico o añadiendo un cuantificador a cada variable. 

Las siguientes son las diferentes maneras de obtener una proposición a partir de una función proposicional dada. 

Sea Axy: "x fue alumno de y"
Platón fue alumno de Sócrates; que se denota Aps.
Todos fueron alumnos de todos;que es ( x)( y)(Axy).
Todos fueron alumnos de algunos; que es ( x)( y)(Axy).
Algunos fueron alumnos de todos; que es ( x)( y)(Axy).
Algunos fueron alumnos de algunos; que es ( x)(  y)(Axy).
Juan fue alumno de todos; que es ( y)( Ajy).
Juan fue alumno de Algunos; que es ( y)(Ajy).
Todos fueron alumnos de Sócrates; que es ( x)( Axs).
Algunos fueron alumnos de Sócrates; que es ( x)(Axs).


2.7.2 Leyes del Cálculo de Relaciones. 

2.7.2.1 Negación de expresiones con varios cuantificadores. 
  

1.  ( x)( y)(Rxy)  ( x)( y)( Rxy).
2.  ( x)( y)(Rxy)  ( x)( y)( Rxy).
3.  ( x)( y)(Rxy)  ( x)( y)( Rxy).
4.  ( x)( y)(Rxy)  ( x)( y)( Rxy).
Para hacer la negación de la fórmula ( x)(  y)( Rxy) de sigue el siguiente proceso: Sea Sx la funciónproposicional (  y)( Rxy), luego la fórmula se puede expresar
( x)( Sx) cuya negación es (  x)(  Sx), ahora, como Sx es (  y)( Rxy) se da que
 Sx   (  y)( Rxy)  ( y)(  Rxy).
Se obtiene entonces el siguiente resultado:
 ( x)( y)( Rxy)  ( x)( y)( Rxy).

2.7.2.2 Propiedades conmutativas de los cuantificadores 
  
 
1. ( x)( y)(Rxy)  ( y)( x)(Rxy).
2.( x)(  y)(Rxy)  ( y)(  x)(Rxy).
3. ( x)( y)(Rxy)  ( y)( x)(Rxy).
El siguiente ejemplo demuestra que el reciproco del tercer numeral es falso. 
  
 
Se sabe: "para cada número natural n, existe un natural k, tal que n  k ", o sea que
( n)( k)( n  k ), es un enunciado verdadero. Sin embargo, el siguiente enunciado
"existe un número natural k, tal que para todo número natural n se cumple que
n  k", o sea( k)( n)( n  k ), es un enunciado falso, pues no existe un número natural que sea mayor que todos los números naturales. 
 
2.7.3 Lógica de la identidad.
2.7.3.1 Introducción. En español se usa con frecuencia alguna forma del verbo "ser" entre dos términos, para indicar que nombran o se refieren a una misma cosa.
Por ejemplo:
"Simón Bolívar fue el primer presidente de Colombia".
Estosignifica, que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que " primer presidente de Colombia". Así si s representa a Simón Bolívar y p al primer presidente de Colombia este enunciado se puede simbolizar como:
s = p
El signo = (igual) se denomina también signo de identidad.
Sin embargo, el verbo "ser" se usa también en otro sentido, por ejemplo:
"Simón Bolívar fue un hombre valiente"....