bilogia

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:

También puede que solo un lado del intervalo sea cerrado así el intervalo se llama semicérrado o semiabierto.

En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto () y los de un intervalocerrado se representan con un punto cerrado ().
Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

 
Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intervalo (a,).

El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intervalo (-, a).

Una desigualdad es un enunciado oecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:
X es mayor que Y 
X es menor que Y 

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con unaincógnita La expresión ,
quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia  es positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia  es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Propiedades de las desigualdades.
1. Unadesigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad  se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

Ejemplos:










Consecuencia de estapropiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:



2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dosmiembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad , es decir, 
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedadEjemplos:









3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad , es decir, 
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

Si -n es recíproco de unnúmero negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.
Ejemplos:










Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.
Ejemplo:



4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, ladesigualdad no cambia de sentido.
Sea la desigualdad , en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:


Ejemplo:





5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la...