Binomial negativa

7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.
 
Esta también es un caso especial de la distribución Binomial, ya que en este caso se trata de que al llevar a efecto varias veces un experimento binomial, sedesea determinar la probabilidad de que ocurran r éxitos, solo que el último de ellos debe ocurrir en el k-ésimo ensayo o repetición del experimento quees el último.
 
Para encontrar una fórmula quenos permita calcular probabilidades con esta distribución, partiremos de un ejemplo.
 
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águilaes de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que aparezcan tres águilas, y la última que aparezca sea en el último lanzamiento.
 
Solución:Sí trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, encontraremos que las ramas que nos interesan son aquellas en donde aparecen 3 águilas y la última de ellas apareceen el último lanzamiento; ejemplos de una rama que nos interesa sería;
SAASSSSA, SSASSSAA, ASSASSSA, etc., etc.
 
Entonces la probabilidad se puede determinar de la siguiente forma:
 
 (Probabilidad de que aparezcan Tres águilas, donde la última de ellas aparece en el último lanzamiento de la moneda)=(# de ramas del árbol en donde la tercera águila que aparece está en el octavolanzamiento)(probabilidad asociada a cada rama)
 
 
Luego, definiendo algunos términos a utilizar;
 
Y = k = número de lanzamientos necesarios para que se obtenga una águila por r-ésima vez = 8 lanzamientosr = número de veces que aparece un éxito = 3 águilas
p = probabilidad de éxito = p(aparezca águila) = 2/3
q = probabilidad de fracaso = p(aparezca sello) = 1/3
 
Luego, el número de ramas quenos interesan del árbol se podría determinar de la siguiente forma:
 
                                               # de ramas = 
 
 
¿Cual es la razón de que se tomen k-1 ensayos y r-1 éxitos...